Esta é uma série alternada cujo termo em módulo é u_n=\dfrac{1}{2n+1}.
Vou aplicar o critério de Leibniz (teste da série alternada): se u_n é monotonicamente decrescente para n grandes e \lim_{n\to\infty}u_n=0, então \sum (-1)^n u_n converge.
Verifico as condições:
\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{1}{2n+1}=0.
Para n\ge0, 2(n+1)+1=2n+3>2n+1, logo \dfrac{1}{2n+3}<\dfrac{1}{2n+1}. Assim u_n é decrescente.
Portanto, pela regra de Leibniz, a série em x=1 converge. (É convergência condicional, porque a série dos módulos diverge — veremos isso adiante.)
Ou seja, é novamente uma série alternada com módulos u_n=\dfrac{1}{2n+1}, exatamente como no caso x=1 (apenas com sinal trocado). As condições do teste de Leibniz continuam válidas (mesmo u_n decrescente e com limite zero). Logo a série converge também para x=-1.
Passo 6
Comentário adicional importante sobre convergência absoluta vs. condicional (útil na prova): para |x|<1 já demonstramos convergência (na verdade absolutamente porque o teste da razão deu |y|<1). Para |x|=1 os módulos dos termos são \dfrac{1}{2n+1}, então a série dos módulos é
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{2n+1},
que diverge por comparação com a série harmônica (por exemplo, os termos de índices ímpares formam metade da soma harmônica). Portanto nos extremos a convergência é condicional (não absoluta). Isso confirma que ambos os extremos estão incluídos no intervalo, mas a convergência lá é condicional.
Resposta
Raio de convergência: R=1
Intervalo de convergência: [-1,1]