Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência das séries abaixo.
(e) \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{2 n+1} x^{2 n+1}.

Passo 1

O enunciado pede: “Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência” da série
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{2 n+1} x^{2 n+1}.
Informações dadas:
\text{termo geral } a_n(x)=\frac{(-1)^{n}}{2 n+1} x^{2 n+1}.
O que precisamos determinar:
  • O raio de convergência R (isto é, o valor tal que a série converge para |x|<R e diverge para |x|>R).
  • O intervalo de convergência real (incluir ou não os extremos \pm R dependendo da convergência nesses pontos).

Passo 2

Primeiro passo técnico: é mais simples tratar a série como x vezes uma série em x^2. Faço a mudança
y=x^2,
e escrevo
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{2 n+1} x^{2 n+1} = x \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{2 n+1} y^{n}.
Defino os coeficientes da série em y:
b_n=\frac{(-1)^{n}}{2n+1}y^{n}.
Agora aplico o teste da razão (ratio test) à série em y para encontrar para quais y ela converge.

Passo 3

Explico rapidamente o teste da razão que vou usar: se temos uma série \sum b_n com b_n\neq0 e
L=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{b_{n+1}}{b_n}\right|,
então a série converge absolutamente se L<1, diverge se L>1 e o teste é inconclusivo se L=1. Vou calcular esse limite para os b_n definidos.
Calculo:
\left|\frac{b_{n+1}}{b_n}\right| = \left|\frac{\frac{(-1)^{n+1}}{2(n+1)+1}y^{\,n+1}}{\frac{(-1)^{n}}{2n+1}y^{n}}\right| = |y|\cdot\frac{2n+1}{2n+3}.
Tomo o limite quando n\to\infty:
\lim_{n\to\infty}\left|\frac{b_{n+1}}{b_n}\right| = |y|\cdot\lim_{n\to\infty}\frac{2n+1}{2n+3} =|y|\cdot 1 = |y|.
Pelo teste da razão, a série em y converge se |y|<1. Voltando a x (lembre que y=x^2), isso dá
|x^2|<1 \quad\Longleftrightarrow\quad |x|<1.
Portanto o raio de convergência é
R=1.

Passo 4

Agora precisamos checar a convergência nos extremos |x|=1, ou seja, x=1 e x=-1.
Começo por x=1. Substituo na série:
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{2n+1}\,1^{2n+1} =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{2n+1}.
Esta é uma série alternada cujo termo em módulo é u_n=\dfrac{1}{2n+1}.
Vou aplicar o critério de Leibniz (teste da série alternada): se u_n é monotonicamente decrescente para n grandes e \lim_{n\to\infty}u_n=0, então \sum (-1)^n u_n converge.
Verifico as condições:
  • \displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{1}{2n+1}=0.
  • Para n\ge0, 2(n+1)+1=2n+3>2n+1, logo \dfrac{1}{2n+3}<\dfrac{1}{2n+1}. Assim u_n é decrescente.
Portanto, pela regra de Leibniz, a série em x=1 converge. (É convergência condicional, porque a série dos módulos diverge — veremos isso adiante.)

Passo 5

Agora x=-1. Substituo:
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{2n+1}(-1)^{2n+1}.
Observe que (-1)^{2n+1}=(-1)^{2n}\cdot(-1)=1\cdot(-1)=-1. Então o termo geral vira
\frac{(-1)^{n}}{2n+1}\cdot(-1) = -\frac{(-1)^{n}}{2n+1} = \frac{(-1)^{n+1}}{2n+1}.
Ou seja, é novamente uma série alternada com módulos u_n=\dfrac{1}{2n+1}, exatamente como no caso x=1 (apenas com sinal trocado). As condições do teste de Leibniz continuam válidas (mesmo u_n decrescente e com limite zero). Logo a série converge também para x=-1.

Passo 6

Comentário adicional importante sobre convergência absoluta vs. condicional (útil na prova): para |x|<1 já demonstramos convergência (na verdade absolutamente porque o teste da razão deu |y|<1). Para |x|=1 os módulos dos termos são \dfrac{1}{2n+1}, então a série dos módulos é
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{2n+1},
que diverge por comparação com a série harmônica (por exemplo, os termos de índices ímpares formam metade da soma harmônica). Portanto nos extremos a convergência é condicional (não absoluta). Isso confirma que ambos os extremos estão incluídos no intervalo, mas a convergência lá é condicional.

Resposta

Raio de convergência: R=1
Intervalo de convergência: [-1,1]

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