Encontrar as normas de u e v, a distância de u a v e o ângulo entre u e v nos seguintes casos:
c) u=(ll1 & 1 0 & 0) e v=(ll0 & 1 1 & 0) com o produto interno de M2(R) definido em aula, ou seja,
lang<=(ll a11 & a12 a21 & a22 ),(ll b11 & b12 b21 & b22 )rang<==a11 b11+a12 b12+a21 b21+a22 b22=Tr((ll a11 & a12 a21 & a22 )(ll b11 & b21 b12 & b22 ))

Passo 1

Resumindo, estamos no espaço vetorial M2(R) dotado do produto interno de Frobenius definido por
llang<= A,Brrang<= = sumi,jAijBij
para quaisquer matrizes A e B. Precisamos calcular a norma de
u=1 & 10 & 0, v=0 & 11 & 0,
a distância entre u e v e o ângulo entre eles.

Passo 2

Calcular lang<= u,urang<= e lang<= v,vrang<= para obter as normas:
lang<= u,urang<= = 1^2 + 1^2 + 0^2 + 0^2 = 2,
lang<= v,vrang<= = 0^2 + 1^2 + 1^2 + 0^2 = 2
Logo,
|u| = raiz2, |v| = raiz2

Passo 3

Calcular o produto interno lang<= u,vrang<=:
lang<= u,vrang<= = 1cdot 0 + 1cdot 1 + 0cdot 1 + 0cdot 0 = 1

Passo 4

A distância entre u e v é
|u - v| = raizlang<= u-v,,u-vrang<= = raiz|u|^2 + |v|^2 - 2lang<= u,vrang<= = raiz2 + 2 - 2cdot1 = raiz2

Passo 5

O ângulo theta entre u e v satisfaz
costheta = lang<= u,vrang<=|u|;|v| = 1raiz2,raiz2 = tfrac12,
portanto
theta = arccos!l(tfrac12r) = pi3

Resposta

|u| = raiz2, |v| = raiz2, d(u,v)=raiz2, theta = tfracpi3

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