R6 Dados vetores U, V no espaço, qual o ângulo que o vetor U \times V faz com U e com V ? Qual a relação entre o comprimento do vetor U \times V com o paralelogramo formado por U e V ?

Passo 1

O enunciado pergunta duas coisas sobre vetores U e V no espaço:\n
  1. Qual o ângulo que o vetor U\times V faz com U e com V?\n
  2. Qual a relação entre o comprimento do vetor U\times V e o paralelogramo formado por U e V?\n
    Informações dadas ( explícitas ou implícitas ):\n
  • Temos dois vetores U e V em \mathbb{R}^3.\n
  • Vou assumir U e V não nulos (se um for nulo, o produto vetorial é o vetor nulo e algumas afirmações ficam triviais).\n
  • Chamo de \theta o ângulo entre U e V, isto é, \theta satisfaz 0\le\theta\le\pi.

Passo 2

Para começar, lembro a fórmula componente a componente do produto vetorial. Se
U = (u_1,u_2,u_3),\qquad V=(v_1,v_2,v_3),
então o produto vetorial U\times V é o vetor
U\times V=\big(u_2v_3-u_3v_2,\;u_3v_1-u_1v_3,\;u_1v_2-u_2v_1\big).
Agora vou mostrar que U\times V é ortogonal a U. Para isso, calcule o produto escalar (U\times V)\cdot U. Usando as componentes:
\begin{aligned} (U\times V)\cdot U &=u_1\,(u_2v_3-u_3v_2)+u_2\,(u_3v_1-u_1v_3)+u_3\,(u_1v_2-u_2v_1). \end{aligned}
Desenvolvendo cada termo e agrupando:
\begin{aligned} (U\times V)\cdot U &=u_1u_2v_3-u_1u_3v_2+u_2u_3v_1-u_1u_2v_3+u_1u_3v_2-u_2u_3v_1. \end{aligned}
Observe que cada termo aparece com sinal positivo e com sinal negativo, então todos se cancelam e sobramos com
(U\times V)\cdot U=0.
De maneira análoga (ou repetindo o cálculo permutando U e V) obtém-se
(U\times V)\cdot V=0.

Passo 3

Agora uso a relação entre produto escalar e ângulo: para dois vetores A e B,
A\cdot B = |A|\,|B|\,\cos\varphi,
onde \varphi é o ângulo entre A e B e |\cdot| é a norma (comprimento). Aplicando isso a A=U\times V e B=U, temos
(U\times V)\cdot U = |U\times V|\,|U|\,\cos\varphi,
onde \varphi é o ângulo entre U\times V e U. Como já mostramos que (U\times V)\cdot U=0 e |U| e |U\times V| são não negativos, concluímos que \cos\varphi=0. Logo
\varphi=90^\circ.
O mesmo raciocínio com V dá que o ângulo entre U\times V e V também é 90^\circ. Em palavras: U\times V é perpendicular a U e a V.

Passo 4

Agora vou explicar a relação entre o comprimento de U\times V e o paralelogramo formado por U e V.\n
Definição clássica (geométrica) do comprimento do produto vetorial: o módulo do produto vetorial é
|U\times V| = |U|\,|V|\,\sin\theta,
onde \theta é o ângulo entre U e V (mesmo \theta definido no Passo 1). Vou interpretar e justificar essa fórmula de forma geométrica, que é a mais direta para provas e para a prova da faculdade.\n
Considere o paralelogramo que tem lados os vetores U e V. A área A desse paralelogramo é igual à base vezes a altura. Tomando a base como |U|, a altura relativa a essa base é a componente de V perpendicular a U, que vale |V|\sin\theta. Portanto
A = \text{(base)}\times\text{(altura)} = |U|\times(|V|\sin\theta)=|U|\,|V|\,\sin\theta.
Comparando com a fórmula do módulo do produto vetorial, vemos que
|U\times V| = A,
ou seja, o comprimento de U\times V é exatamente a área do paralelogramo formado por U e V.

Passo 5

Complemento prático e intuição: \n
  • Se U e V são paralelos ( \theta=0 ou \theta=\pi), então \sin\theta=0 e U\times V=\mathbf{0}. Isso faz sentido geometricamente: o paralelogramo tem área zero.\n
  • Se U e V são perpendiculares ( \theta=90^\circ), então |U\times V|=|U|\,|V|, que é a área do retângulo cujos lados têm comprimentos |U| e |V|.\n
  • A direção de U\times V é dada pela regra da mão direita (orientação): é perpendicular ao plano determinado por U e V, apontando para a “direção do polegar” se os dedos seguem U para V.

Resposta

O vetor U\times V é perpendicular a U e a V; logo o ângulo entre U\times V e U é 90^\circ e o ângulo entre U\times V e V é 90^\circ.\n
O comprimento satisfaz |U\times V| = |U|\,|V|\,\sin\theta, onde \theta é o ângulo entre U e V; esse valor é exatamente a área do paralelogramo formado por U e V.

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