R6 Dados vetores
no espaço, qual o ângulo que o vetor
faz com
e com
? Qual a relação entre o comprimento do vetor
com o paralelogramo formado por
e
?
Passo 1
O enunciado pergunta duas coisas sobre vetores
e
no espaço:\n
- Qual o ângulo que o vetor
faz com e com ?\n - Qual a relação entre o comprimento do vetor
e o paralelogramo formado por e ?\n
Informações dadas ( explícitas ou implícitas ):\n
- Temos dois vetores
e em .\n - Vou assumir
e não nulos (se um for nulo, o produto vetorial é o vetor nulo e algumas afirmações ficam triviais).\n - Chamo de
o ângulo entre e , isto é, satisfaz .
Passo 2
Para começar, lembro a fórmula componente a componente do produto vetorial. Se
então o produto vetorial
é o vetor
Agora vou mostrar que
é ortogonal a
. Para isso, calcule o produto escalar
. Usando as componentes:
Desenvolvendo cada termo e agrupando:
Observe que cada termo aparece com sinal positivo e com sinal negativo, então todos se cancelam e sobramos com
De maneira análoga (ou repetindo o cálculo permutando
e
) obtém-se
Passo 3
Agora uso a relação entre produto escalar e ângulo: para dois vetores
e
,
onde
é o ângulo entre
e
e
é a norma (comprimento). Aplicando isso a
e
, temos
onde
é o ângulo entre
e
. Como já mostramos que
e
e
são não negativos, concluímos que
. Logo
O mesmo raciocínio com
dá que o ângulo entre
e
também é
. Em palavras:
é perpendicular a
e a
.
Passo 4
Agora vou explicar a relação entre o comprimento de
e o paralelogramo formado por
e
.\n
Definição clássica (geométrica) do comprimento do produto vetorial: o módulo do produto vetorial é
Definição clássica (geométrica) do comprimento do produto vetorial: o módulo do produto vetorial é
onde
é o ângulo entre
e
(mesmo
definido no Passo 1). Vou interpretar e justificar essa fórmula de forma geométrica, que é a mais direta para provas e para a prova da faculdade.\n
Considere o paralelogramo que tem lados os vetores e
. A área
desse paralelogramo é igual à base vezes a altura. Tomando a base como
, a altura relativa a essa base é a componente de
perpendicular a
, que vale
. Portanto
Considere o paralelogramo que tem lados os vetores
Comparando com a fórmula do módulo do produto vetorial, vemos que
ou seja, o comprimento de
é exatamente a área do paralelogramo formado por
e
.
Passo 5
Complemento prático e intuição: \n
- Se
e são paralelos ( ou ), então e . Isso faz sentido geometricamente: o paralelogramo tem área zero.\n - Se
e são perpendiculares ( ), então , que é a área do retângulo cujos lados têm comprimentos e .\n - A direção de
é dada pela regra da mão direita (orientação): é perpendicular ao plano determinado por e , apontando para a “direção do polegar” se os dedos seguem para .
Resposta
O vetor
é perpendicular a
e a
; logo o ângulo entre
e
é
e o ângulo entre
e
é
.\n
O comprimento satisfaz , onde
é o ângulo entre
e
; esse valor é exatamente a área do paralelogramo formado por
e
.
O comprimento satisfaz