R5 Dados vetores
no plano ou no espaço, com
, como obter vetores
tais que
, com
paralelo á
e
ortogonal á
?
Passo 1
O enunciado dá os vetores
e
no plano ou no espaço, com a condição
. Pede-se encontrar vetores
e
tais que:
com a restrição de que
seja paralelo a
e
seja ortogonal a
.
Informações relevantes: e
são dados,
, e precisamos expressar
e
em função de
e
.
Informações relevantes:
Passo 2
Observação inicial e estratégia natural: um vetor paralelo a
é sempre um múltiplo escalar de
. Portanto podemos escrever
na forma
para algum escalar
. Como
, temos
Agora só precisamos determinar o valor de
que garante que
é ortogonal a
.
Passo 3
Definição e propriedade usada: dois vetores
e
são ortogonais quando o produto escalar deles é zero, isto é,
O produto escalar também tem a propriedade de ser linear em cada argumento e, em coordenadas, se
e
, então
Usaremos a condição de ortogonalidade para
e
.
Passo 4
Aplicando a condição de ortogonalidade a
e
, exigimos:
Usando linearidade do produto escalar obtemos:
Essa é uma equação escalar para
.
Passo 5
Resolvendo a equação por
: isolamos
,
Aqui é importante notar por que
: como
, o produto escalar
é estritamente positivo, então a divisão é válida.
Passo 6
Voltando à expressão de
, substituímos
:
Isto nos dá
explicitamente como um múltiplo de
. Interpretando geometricamente,
é a projeção ortogonal de
sobre
.
Passo 7
Agora obtemos
usando
:
Verificação rápida: calcule
:
logo
é realmente ortogonal a
.
Passo 8
Comentário sobre unicidade (útil na prova): se houvesse outra decomposição
com
paralelo a
e
ortogonal a
, então
seria ao mesmo tempo paralelo e ortogonal a
, o que só acontece se for o vetor nulo. Portanto a decomposição é única.
Passo 9
Exemplo numérico rápido (para fixar): seja
e
. Então
logo
Confere que
é paralelo a
e
.