R5 Dados vetores U, V no plano ou no espaço, com V \neq \overrightarrow{0}, como obter vetores \vec{A}, \vec{B} tais que U=\vec{A}+\vec{B}, com \vec{A} paralelo á V e B ortogonal á V ?

Passo 1

O enunciado dá os vetores U e V no plano ou no espaço, com a condição V \neq \overrightarrow{0}. Pede-se encontrar vetores \vec{A} e \vec{B} tais que:
U=\vec{A}+\vec{B},
com a restrição de que \vec{A} seja paralelo a V e \vec{B} seja ortogonal a V.
Informações relevantes: U e V são dados, V\neq\overrightarrow{0}, e precisamos expressar \vec{A} e \vec{B} em função de U e V.

Passo 2

Observação inicial e estratégia natural: um vetor paralelo a V é sempre um múltiplo escalar de V. Portanto podemos escrever \vec{A} na forma
\vec{A}=t\,V
para algum escalar t\in\mathbb{R}. Como U=\vec{A}+\vec{B}, temos
\vec{B}=U-\vec{A}=U-tV.
Agora só precisamos determinar o valor de t que garante que \vec{B} é ortogonal a V.

Passo 3

Definição e propriedade usada: dois vetores X e Y são ortogonais quando o produto escalar deles é zero, isto é,
X\cdot Y=0.
O produto escalar também tem a propriedade de ser linear em cada argumento e, em coordenadas, se X=(x_1,x_2,\dots) e Y=(y_1,y_2,\dots), então
X\cdot Y=\sum x_i y_i.
Usaremos a condição de ortogonalidade para \vec{B} e V.

Passo 4

Aplicando a condição de ortogonalidade a \vec{B}=U-tV e V, exigimos:
(U-tV)\cdot V=0.
Usando linearidade do produto escalar obtemos:
U\cdot V - t\,V\cdot V = 0.
Essa é uma equação escalar para t.

Passo 5

Resolvendo a equação por t: isolamos t,
t = \frac{U\cdot V}{V\cdot V}.
Aqui é importante notar por que V\cdot V\neq 0: como V\neq\overrightarrow{0}, o produto escalar V\cdot V=\|V\|^2 é estritamente positivo, então a divisão é válida.

Passo 6

Voltando à expressão de \vec{A}, substituímos t:
\vec{A} = \frac{U\cdot V}{V\cdot V}\,V.
Isto nos dá \vec{A} explicitamente como um múltiplo de V. Interpretando geometricamente, \vec{A} é a projeção ortogonal de U sobre V.

Passo 7

Agora obtemos \vec{B} usando \vec{B}=U-\vec{A}:
\vec{B} = U - \frac{U\cdot V}{V\cdot V}\,V.
Verificação rápida: calcule \vec{B}\cdot V:
\vec{B}\cdot V = \left(U - \frac{U\cdot V}{V\cdot V}\,V\right)\cdot V = U\cdot V - \frac{U\cdot V}{V\cdot V}\,V\cdot V = 0,
logo \vec{B} é realmente ortogonal a V.

Passo 8

Comentário sobre unicidade (útil na prova): se houvesse outra decomposição U=\vec{A'}+\vec{B'} com \vec{A'} paralelo a V e \vec{B'} ortogonal a V, então \vec{A}-\vec{A'}=(\vec{B'}-\vec{B}) seria ao mesmo tempo paralelo e ortogonal a V, o que só acontece se for o vetor nulo. Portanto a decomposição é única.

Passo 9

Exemplo numérico rápido (para fixar): seja U=(3,4) e V=(1,0). Então
U\cdot V=3,\qquad V\cdot V=1,
logo
\vec{A}=\frac{3}{1}(1,0)=(3,0),\qquad \vec{B}=U-\vec{A}=(0,4).
Confere que \vec{A} é paralelo a V e \vec{B}\cdot V=0.

Resposta

\displaystyle \vec{A}=\frac{U\cdot V}{V\cdot V}\,V
\displaystyle \vec{B}=U-\frac{U\cdot V}{V\cdot V}\,V

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