R9 Como obter a equação do plano que tem N como vetor normal e passa pelo ponto P ?

Passo 1

O enunciado pede: “Como obter a equação do plano que tem N como vetor normal e passa pelo ponto P?”\n
Informações dadas:
  • Um vetor normal N ao plano (vou considerá‑lo não nulo).
  • Um ponto P que pertence ao plano.\n
    Pedido:
  • Escrever a equação do plano (forma que permita verificar se um ponto pertence ao plano e que seja prática para usar na prova).

Passo 2

Vamos definir coordenadas e notação (sempre comece assim numa prova para não se perder):\n
  • Seja N=(A,B,C) o vetor normal ao plano. Aqui A, B, C são os componentes do vetor normal (pelo menos um deles diferente de zero).\n
  • Seja P=(x_0,y_0,z_0) um ponto do plano (essas são as coordenadas conhecidas do ponto dado).\n
  • Seja X=(x,y,z) um ponto genérico qualquer do espaço — ao escrever a equação do plano queremos uma condição que X satisfaça exatamente quando X estiver no plano.\n
    Expliquei o que representa cada letra para você poder anotar num enunciado sem se confundir.

Passo 3

Intuição geométrica e a ferramenta que vamos usar: o produto escalar (dot product).\n
  • Se dois vetores são perpendiculares, o produto escalar entre eles é zero.\n
  • Definição prática: para u=(u_1,u_2,u_3) e v=(v_1,v_2,v_3) temos
u\cdot v = u_1 v_1 + u_2 v_2 + u_3 v_3.
  • No nosso caso, o vetor X-P = (x-x_0,\,y-y_0,\,z-z_0) é um vetor que liga o ponto P a um ponto genérico X. Se X pertence ao plano, então esse vetor está contido no plano e, portanto, é perpendicular a N. Logo o produto escalar deve ser zero.\n
    Isso é a chave: perpendicularidade ⇔ produto escalar = 0.

Passo 4

Escrevendo a condição matemática da perpendicularidade:\n
A condição é
N\cdot (X-P)=0.
Agora coloque as coordenadas que definimos: N=(A,B,C) e X-P=(x-x_0,\,y-y_0,\,z-z_0). Aplicando a definição do produto escalar:
A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0.
Expliquei cada termo: A(x-x_0) significa componente A de N vezes componente x-x_0 do vetor X-P, e assim por diante.

Passo 5

Passando para a forma padrão (mais usada em provas):\n
Desenvolva a expressão do passo anterior:
Ax - Ax_0 + By - By_0 + Cz - Cz_0 = 0.
Agrupando x,y,z chegamos à forma
Ax + By + Cz + D = 0,
onde definimos
D = -(Ax_0 + By_0 + Cz_0).
Ou seja, D é calculado substituindo as coordenadas do ponto conhecido na combinação linear com os coeficientes do vetor normal e trocando o sinal. Essa é a forma linear clássica do plano.

Passo 6

Algumas observações práticas e como usar isso na prova:\n
  • Verificação de que um ponto Q=(x_q,y_q,z_q) pertence ao plano: basta substituir em Ax+By+Cz+D. Se o resultado for zero, então Q está no plano.\n
  • O vetor normal N=(A,B,C) não pode ser o vetor nulo; se A=B=C=0 não temos plano definido.\n
  • Se você receber N e P numericamente, calcule D com D=-(Ax_0+By_0+Cz_0) e escreva já Ax+By+Cz+D=0. Isso dá a resposta final rapidamente na prova.\n
    Exemplo rápido (para fixar): suponha N=(2,-3,1) e P=(1,4,0). Então
D = -(2\cdot1 + (-3)\cdot4 + 1\cdot0) = -(2 -12 + 0) = -(-10)=10.
A equação do plano é
2x -3y + z + 10 = 0.
Se quiser, verifique substituindo P: 2\cdot1 -3\cdot4 + 0 +10 = 2-12+10=0, ok.

Passo 7

Resumo do procedimento passo a passo para usar na prova (cola mental):\n
  1. Identifique N=(A,B,C) e P=(x_0,y_0,z_0).\n
  2. Escreva A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0.\n
  3. Expanda se quiser a forma Ax+By+Cz+D=0 com D=-(Ax_0+By_0+Cz_0).\n
  4. Verifique substituindo o ponto conhecido para checar cálculos.\n
    Pronto — com isso você resolve qualquer questão do tipo sem mistério.

Resposta

N\cdot (X-P)=0
\text{ou, se }N=(A,B,C)\text{ e }P=(x_0,y_0,z_0):\quad A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0
\text{equivalentemente:}\quad Ax+By+Cz+D=0,\quad D=-(Ax_0+By_0+Cz_0)

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