R9 Como obter a equação do plano que tem
como vetor normal e passa pelo ponto
?
Passo 1
O enunciado pede: “Como obter a equação do plano que tem
como vetor normal e passa pelo ponto
?”\n
Informações dadas:
Informações dadas:
- Um vetor normal
ao plano (vou considerá‑lo não nulo). - Um ponto
que pertence ao plano.\n
Pedido: - Escrever a equação do plano (forma que permita verificar se um ponto pertence ao plano e que seja prática para usar na prova).
Passo 2
Vamos definir coordenadas e notação (sempre comece assim numa prova para não se perder):\n
- Seja
o vetor normal ao plano. Aqui , , são os componentes do vetor normal (pelo menos um deles diferente de zero).\n - Seja
um ponto do plano (essas são as coordenadas conhecidas do ponto dado).\n - Seja
um ponto genérico qualquer do espaço — ao escrever a equação do plano queremos uma condição que satisfaça exatamente quando estiver no plano.\n
Expliquei o que representa cada letra para você poder anotar num enunciado sem se confundir.
Passo 3
Intuição geométrica e a ferramenta que vamos usar: o produto escalar (dot product).\n
- Se dois vetores são perpendiculares, o produto escalar entre eles é zero.\n
- Definição prática: para
e temos
- No nosso caso, o vetor
é um vetor que liga o ponto a um ponto genérico . Se pertence ao plano, então esse vetor está contido no plano e, portanto, é perpendicular a . Logo o produto escalar deve ser zero.\n
Isso é a chave: perpendicularidade ⇔ produto escalar = 0.
Passo 4
Escrevendo a condição matemática da perpendicularidade:\n
A condição é
A condição é
Agora coloque as coordenadas que definimos:
e
. Aplicando a definição do produto escalar:
Expliquei cada termo:
significa componente
de
vezes componente
do vetor
, e assim por diante.
Passo 5
Passando para a forma padrão (mais usada em provas):\n
Desenvolva a expressão do passo anterior:
Desenvolva a expressão do passo anterior:
Agrupando
chegamos à forma
onde definimos
Ou seja,
é calculado substituindo as coordenadas do ponto conhecido na combinação linear com os coeficientes do vetor normal e trocando o sinal. Essa é a forma linear clássica do plano.
Passo 6
Algumas observações práticas e como usar isso na prova:\n
- Verificação de que um ponto
pertence ao plano: basta substituir em . Se o resultado for zero, então está no plano.\n - O vetor normal
não pode ser o vetor nulo; se não temos plano definido.\n - Se você receber
e numericamente, calcule com e escreva já . Isso dá a resposta final rapidamente na prova.\n
Exemplo rápido (para fixar): suponhae . Então
A equação do plano é
Se quiser, verifique substituindo
:
, ok.
Passo 7
Resumo do procedimento passo a passo para usar na prova (cola mental):\n
- Identifique
e .\n - Escreva
.\n - Expanda se quiser a forma
com .\n - Verifique substituindo o ponto conhecido para checar cálculos.\n
Pronto — com isso você resolve qualquer questão do tipo sem mistério.