1. (RA1) Uma amostra A de água e uma amostra B de gelo, de massas iguais, são colocadas em um recipiente termicamente isolado e se espera até que entrem em equilíbrio térmico.
(b) Ao atingir o equilíbrio, o líquido congela parcialmente, congela totalmente ou não congela?

Passo 1

Vou explicar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • O enunciado dá:
    • Duas amostras de massas iguais m: uma é água líquida (amostra A) e a outra é gelo (amostra B).
    • As duas são colocadas num recipiente termicamente isolado e aguardamos até o equilíbrio térmico.
    • Não são dadas temperaturas numéricas iniciais específicas.
  • O enunciado pede:
    • Ao atingir o equilíbrio, o líquido congela parcialmente, congela totalmente ou não congela?
Observação importante: não há números iniciais, portanto a resposta deverá explicar em que situações cada um desses três resultados acontece. Vou manter tudo bem didático, passo a passo.

Passo 2

Princípios físicos e definições que vamos usar (aula rápida e prática).
  • Conservação de energia térmica: num sistema isolado a soma da energia interna (calor trocado entre as partes) é conservada. Ou seja, o calor perdido por uma parte é igual ao calor ganho pela outra.
  • Grandezas e símbolos que vou usar:
    • m: massa de cada amostra (as massas são iguais).
    • c_w: calor específico da água líquida (unidade: \mathrm{J/(kg\cdot K)}).
    • c_i: calor específico do gelo (hielo) (unidade: \mathrm{J/(kg\cdot K)}).
    • L: calor latente de fusão da água (energia necessária para fundir 1\\ \mathrm{kg} de gelo à 0^\circ\mathrm{C}).
    • T_{w,i}: temperatura inicial da água (assumimos T_{w,i}>0^\circ\mathrm{C}).
    • T_{i,i}: temperatura inicial do gelo (assumimos T_{i,i}\le 0^\circ\mathrm{C}).
    • T_f: temperatura final de equilíbrio (pode ser >0^\circ\mathrm{C}, =0^\circ\mathrm{C} ou <0^\circ\mathrm{C}).
  • Conceitos:
    • Energia térmica associada a uma amostra depende de sua temperatura e de seu estado (gelo ou água). Para passar de gelo a água a 0^\circ\mathrm{C} é necessário o calor L.
    • Para aquecer ou resfriar dentro de um mesmo estado (sólido ou líquido) usamos Q = m c \Delta T.
Vou usar como referência a energia (por unidade de massa) medida em relação ao gelo sólido a 0^\circ\mathrm{C}. Com essa referência:
  • energia por unidade de massa do gelo a T\le 0 é h_{\text{gelo}} = c_i T (note T\le 0 dá valor negativo ou zero);
  • energia por unidade de massa da água líquida a T\ge 0 é h_{\text{água}} = L + c_w Tá (a água a 0^\circ\mathrm{C} tem energia L acima do gelo a 0^\circ\mathrm{C}).

Passo 3

Calcular a energia média inicial por unidade de massa do sistema (dois blocos de massa m) e usar isso para decidir o estado final.
  • Energia (por unidade de massa) inicial da água:
    h_{w,i} = L + c_w T_{w,i}.
  • Energia (por unidade de massa) inicial do gelo:
    h_{i,i} = c_i T_{i,i}.
  • Energia média por unidade de massa do sistema (já que há duas massas iguais):
    h_{\text{médio}} = \frac{h_{w,i} + h_{i,i}}{2} = \frac{L + c_w T_{w,i} + c_i T_{i,i}}{2}.é
Esse h_{\text{médio}}é é a energia por unidade de massa que cada porção teria no equilíbrio (porque energia total é conservada). Agora compare h_{\text{médio}}é com os valores característicos das fases à 0^\circ\mathrm{C}:
  • Energia por unidade de massa do gelo exatamente a 0^\circ\mathrm{C} é
    h_{\text{gelo }0} = 0.
  • Energia por unidade de massa da água líquida exatamente a 0^\circ\mathrm{C} é
    h_{\text{água }0} = L.á
Interpretação física simples: se a energia média ficar entre 0 e L, o equilíbrio ficará em 0^\circ\mathrm{C} com parte em gelo e parte em água (mistura). Se a energia média for maior que L sobra energia suficiente para ter só água acima de 0^\circ\mathrm{C}. Se a energia média for menor que 0 sobra “déficit” e o equilíbrio será só gelo abaixo de 0^\circ\mathrm{C}.
Portanto os critérios são:
  • Se
    h_{\text{médio}} > L,é
    então no equilíbrio toda a massa estará em forma líquida e T_f>0^\circ\mathrm{C} (o gelo derrete totalmente e sobra calor para aquecer o conjunto acima de 0^\circ\mathrm{C}). Em palavras: “não congela” (o líquido não congela — ao contrário, o gelo derrete).
  • Se
    0 < h_{\text{médio}} < L,é
    então o equilíbrio ficará a T_f = 0^\circ\mathrm{C} com uma mistura de gelo e água: houve derretimento parcial do gelo ou congelamento parcial da água, resultando em coexistência — isso é “congela parcialmente” ou melhor: há parte em gelo e parte em água (equilíbrio à 0^\circ\mathrm{C}).
  • Se
    h_{\text{médio}} < 0,é
    então no equilíbrio toda a massa estará como gelo e T_f<0^\circ\mathrm{C} (a água líquida original congela totalmente e o sistema final fica sólido abaixo de 0^\circ\mathrm{C}) — isto é “congela totalmente”.
Essas desigualdades vêm diretamente da conservação de energia e da definição de h_{\text{médio}}é que calculamos.

Passo 4

Reescrever as condições de forma explícita em termos das temperaturas iniciais (fórmula prática que dá para usar na prova).
Partindo de
h_{\text{médio}}=\frac{L + c_w T_{w,i} + c_i T_{i,i}}{2},é
as três situações ocorrem quando:
  • Não congela (toda água no fim, T_f>0) se
    \frac{L + c_w T_{w,i} + c_i T_{i,i}}{2} > L,
    que simplifica para
    c_w T_{w,i} + c_i T_{i,i} > L.
    Interpretação: o calor disponível (área c_w T_{w,i} menos o déficit do gelo c_i|T_{i,i}|) é maior que o calor latente necessário para fundir o gelo.
  • Congelamento parcial / mistura a 0^\circ\mathrm{C} se
    0 < \frac{L + c_w T_{w,i} + c_i T_{i,i}}{2} < L,
    que equivale a
    0 < L + c_w T_{w,i} + c_i T_{i,i} < 2L.
    Mais simples de aplicar: calcule h_{\text{médio}}é; se estiver entre 0 e L, o equilíbrio é a 0^\circ\mathrm{C} com mistura.
  • Congelamento total ( T_f<0) se
    \frac{L + c_w T_{w,i} + c_i T_{i,i}}{2} < 0,
    que dá
    L + c_w T_{w,i} + c_i T_{i,i} < 0.
    Aqui o sistema tem energia insuficiente para manter água a 0^\circ\mathrm{C}; a energia média é menor que a do gelo a 0^\circ\mathrm{C}, logo todo sistema termina sólido abaixo de 0^\circ\mathrm{C}.

Passo 5

Exemplos numéricos (para fixar a ideia) — uso de números típicos só para ilustrar (na prova você pode usar valores dados ou manter simbólico).
Valores aproximados típicos:
  • c_w \approx 4186\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)},
  • c_i \approx 2100\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)},
  • L \approx 3{,}34\times10^{5}\\ \mathrm{J/kg}.
Exemplo 1: T_{w,i}=20^\circ\mathrm{C} e T_{i,i}=-10^\circ\mathrm{C}.
h_{\text{médio}}=\frac{3{,}34\cdot10^{5} + 4186\cdot20 + 2100\cdot(-10)}{2} =\frac{334000 + 83720 -21000}{2}=\frac{396720}{2}=198360\\ \mathrm{J/kg}.é
Compare com L=334000\\ \mathrm{J/kg}. Aqui 0<h_{\text{médio}}<Lé, portanto o equilíbrio será a 0^\circ\mathrm{C} com mistura: congela/derrete parcialmente (ou seja, haverá água e gelo coexistindo) — conclusão: congela parcialmente.
Exemplo 2 (não comum mas possível): se o gelo estiver muito, muito frio, por exemplo T_{i,i}=-200^\circ\mathrm{C}, e a água não muito quente, pode ocorrer h_{\text{médio}}<0é e então toda a água congela (congela totalmente).
Exemplo 3: se a água estiver muito quente, por exemplo T_{w,i}=200^\circ\mathrm{C} (hipotético), então h_{\text{médio}}>Lé e todo gelo derrete e o equilíbrio fica líquido acima de 0^\circ\mathrm{C} (não congela).
Esses exemplos mostram que TODOS os três resultados são fisicamente possíveis; qual ocorre depende das temperaturas iniciais.

Passo 6

Resumo interpretativo e dica prática para prova (modo “fácil e rápido”):
  • Calcule h_{\text{médio}}=\frac{L + c_w T_{w,i} + c_i T_{i,i}}{2}.é
  • Compare h_{\text{médio}}é com 0 e com L:
    • Se h_{\text{médio}}>Lé então não congela (tudo vira líquido e T_f>0).
    • Se 0<h_{\text{médio}}<Lé então equilíbrio a 0^\circ\mathrm{C} com mistura (congela parcialmente).
    • Se h_{\text{médio}}<0é então congela totalmente ( T_f<0).
Dica: na prova, se não der c_w, c_i, L, mantenha em símbolos e escreva essas desigualdades; se der valores, plugue e compare.

Resposta

Pode não congelar (todo o gelo derrete e fica tudo líquido) se \dfrac{L + c_w T_{w,i} + c_i T_{i,i}}{2} > L.
Pode congelar parcialmente (equilíbrio a 0^\circ\mathrm{C} com água e gelo coexistindo) se 0 < \dfrac{L + c_w T_{w,i} + c_i T_{i,i}}{2} < L.
Pode congelar totalmente (toda a água vira gelo e T_f<0^\circ\mathrm{C}) se \dfrac{L + c_w T_{w,i} + c_i T_{i,i}}{2} < 0.

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