1. (RA2) A posição de uma partícula é dada por x(t)=(2,5) \times \cos (\boldsymbol{\pi}) t, com x em metros e t segundos.
b) Determine a velocidade e a aceleração da partícula quando x=1,5 \mathrm{~m}.

Passo 1

O enunciado dá a posição da partícula em função do tempo e pede a velocidade e a aceleração no instante em que a posição vale 1{,}5\\ \mathrm{m}.
Informações fornecidas:
  • Posição: x(t)=2{,}5\cos\big(\pi t\big), com x em metros e t em segundos (peguei a expressão do enunciado).
  • Pedido: determinar a velocidade v e a aceleração a quando x=1{,}5\\ \mathrm{m}.

Passo 2

O que significa “velocidade” e “aceleração” aqui:
  • Velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo: \displaystyle v(t)=\frac{dx}{dt}.
  • Aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo (segunda derivada da posição): \displaystyle a(t)=\frac{dv}{dt}=\frac{d^2x}{dt^2}.
Também vou precisar achar os instantes t tais que x(t)=1{,}5. Não existe um único instante: a equação trigonométrica terá várias soluções (a partícula passa por x=1{,}5 várias vezes). Portanto a velocidade poderá assumir dois sinais (dependendo do sentido do movimento naquele instante), enquanto a aceleração dependerá apenas do valor do cosseno naquele instante.

Passo 3

Calcular a velocidade geral v(t) aplicando a regra da cadeia para derivadas.
Regra usada (pequena aula): se x(t)=A\cos\big(u(t)\big), então
\frac{dx}{dt}=-A\,u'(t)\sin\big(u(t)\big),
porque a derivada de \cos é -\sin e multiplicamos pela derivada do argumento u(t) (isso é a regra da cadeia).
No nosso caso A=2{,}5 e u(t)=\pi t, então u'(t)=\pi. Assim
v(t)=\frac{dx}{dt}=-2{,}5\cdot\pi\sin\big(\pi t\big).

Passo 4

Calcular a aceleração a(t) derivando v(t).
Regra usada: derivada de \sin\big(\pi t\big) é \pi\cos\big(\pi t\big). Aplicando a derivada em v(t)=-2{,}5\pi\sin(\pi t) obtemos
a(t)=\frac{dv}{dt}=-2{,}5\pi\cdot\pi\cos\big(\pi t\big)=-2{,}5\pi^{2}\cos\big(\pi t\big).

Passo 5

Agora imponho a condição x(t)=1{,}5. Usei a expressão de x(t) do enunciado:
2{,}5\cos\big(\pi t\big)=1{,}5.
Dividindo por 2{,}5 segue
\cos\big(\pi t\big)=\frac{1{,}5}{2{,}5}=0{,}6.

Passo 6

A partir de \cos(\pi t)=0{,}6 encontro \sin(\pi t) usando a identidade trigonométrica
\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1.
Logo
\sin^{2}\big(\pi t\big)=1-(0{,}6)^{2}=1-0{,}36=0{,}64,
portanto
\sin\big(\pi t\big)=\pm\sqrt{0{,}64}=\pm0{,}8.
O sinal \pm corresponde aos diferentes instantes em que a partícula atinge x=1{,}5: em alguns ela passa subindo ( \sin<0 ou \sin>0, depende do quadrante), em outros descendo.

Passo 7

Calcular a velocidade nos instantes pedidos substituindo \sin(\pi t)=\pm0{,}8 na expressão de v(t):
v(t)=-2{,}5\pi\sin\big(\pi t\big)=-2{,}5\pi(\pm0{,}8)=\mp2{,}0\pi.
Ou seja, os valores possíveis da velocidade quando x=1{,}5 são
v=-2{,}0\pi\\ \mathrm{m/s}\quad\text{ou}\quad v=+2{,}0\pi\\ \mathrm{m/s}.
(Para ficar claro: o sinal negativo corresponde ao caso em que \sin(\pi t)=+0{,}8, porque v=-2{,}5\pi\cdot(+0{,}8)=-2{,}0\pi.)

Passo 8

Calcular a aceleração usando \cos(\pi t)=0{,}6 na expressão de a(t):
a(t)=-2{,}5\pi^{2}\cos\big(\pi t\big)=-2{,}5\pi^{2}\cdot0{,}6=-1{,}5\pi^{2}\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Observe que a aceleração tem o mesmo valor (mesmo sinal) para todos os instantes em que x=1{,}5, porque depende somente do cosseno, que já sabemos ser 0{,}6.

Passo 9

Se quiser valores numéricos aproximados, usando \pi\approx3{,}1416:
2{,}0\pi\approx6{,}2832\\ \mathrm{m/s}, \qquad 1{,}5\pi^{2}\approx14{,}804\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Portanto os valores anteriores em forma decimal são v\approx\pm6{,}2832\\ \mathrm{m/s} e a\approx-14{,}804\\ \mathrm{m/s^{2}}.

Resposta

Velocidade: v=-2{,}0\pi\\ \mathrm{m/s} ou v=+2{,}0\pi\\ \mathrm{m/s}
Aceleração: a=-1{,}5\pi^{2}\\ \mathrm{m/s^{2}}

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