- (RA2) A posição de uma partícula é dada por
, com
em metros e
segundos.
b) Determine a velocidade e a aceleração da partícula quando
.
Passo 1
O enunciado dá a posição da partícula em função do tempo e pede a velocidade e a aceleração no instante em que a posição vale
.
Informações fornecidas:
- Posição:
, com em metros e em segundos (peguei a expressão do enunciado). - Pedido: determinar a velocidade
e a aceleração quando .
Passo 2
O que significa “velocidade” e “aceleração” aqui:
- Velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo:
. - Aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo (segunda derivada da posição):
.
Também vou precisar achar os instantes
tais que
. Não existe um único instante: a equação trigonométrica terá várias soluções (a partícula passa por
várias vezes). Portanto a velocidade poderá assumir dois sinais (dependendo do sentido do movimento naquele instante), enquanto a aceleração dependerá apenas do valor do cosseno naquele instante.
Passo 3
Calcular a velocidade geral
aplicando a regra da cadeia para derivadas.
Regra usada (pequena aula): se
, então
porque a derivada de
é
e multiplicamos pela derivada do argumento
(isso é a regra da cadeia).
No nosso caso
e
, então
. Assim
Passo 4
Calcular a aceleração
derivando
.
Regra usada: derivada de
é
. Aplicando a derivada em
obtemos
Passo 5
Agora imponho a condição
. Usei a expressão de
do enunciado:
Dividindo por
segue
Passo 6
A partir de
encontro
usando a identidade trigonométrica
Logo
portanto
O sinal
corresponde aos diferentes instantes em que a partícula atinge
: em alguns ela passa subindo (
ou
, depende do quadrante), em outros descendo.
Passo 7
Calcular a velocidade nos instantes pedidos substituindo
na expressão de
:
Ou seja, os valores possíveis da velocidade quando
são
(Para ficar claro: o sinal negativo corresponde ao caso em que
, porque
.)
Passo 8
Calcular a aceleração usando
na expressão de
:
Observe que a aceleração tem o mesmo valor (mesmo sinal) para todos os instantes em que
, porque depende somente do cosseno, que já sabemos ser
.
Passo 9
Se quiser valores numéricos aproximados, usando
:
Portanto os valores anteriores em forma decimal são
e
.
Resposta
Velocidade:
ou
Aceleração:
Aceleração: