(RA1 e RA2) Calcule as integrais indefinidas indicadas e, em seguida, verifique se as soluções encontradas estão corretas, utilizando a derivada para conferir os resultados.
integral arctan (x) d x
Verificação:

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
integral arctan(x),dx
e em seguida conferir o resultado usando derivada. Aqui vamos usar o método de integração por partes, que é indicado quando o integrando é produto de funções (mesmo que uma seja 1).

Passo 2

Aplicamos integração por partes escolhendo
u = arctan(x), dv = dx
Então
du = 11+x^2,dx, v = x
Pela fórmula
integral u,dv = uv - integral v,du
temos
integral arctan(x),dx = xarctan(x) - integral xcdot11+x^2,dx

Passo 3

Para calcular
integral x1+x^2,dx
fazemos a substituição
t = 1 + x^2 Longrightarrow dt = 2x,dx
Logo
integral x1+x^2,dx = 12 integral dtt = 12 lnl|tr| + C1 = 12 lnl(1+x^2r) + C1

Passo 4

Substituindo de volta na expressão obtida em

Passo 5

integral arctan(x),dx = xarctan(x) - 12 lnl(1+x^2r) + C

Passo 6

Verificação por derivada. Seja
F(x) = xarctan(x) - 12 lnl(1+x^2r)
Então
F'(x) = underbraceddxl[xarctan(x)r]=arctan(x)+x1+x^2 ;-,12cdot2x1+x^2 = arctan(x) + x1+x^2 - x1+x^2 = arctan(x),
o que confere com o integrando.

Resposta

integral arctan(x),dx = xarctan(x) - 12 lnl(1+x^2r) + C

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