(RA1 e RA2) Calcule as integrais indefinidas indicadas e, em seguida, verifique se as soluções encontradas estão corretas, utilizando a derivada para conferir os resultados.
integral 9 x^2raiz1-x^3 d x
Verificação:

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos calcular
integral 9x^2raiz1-x^3,dx.
O conteúdo principal é uma integral que sugere usar substituição simples para eliminar o termo 1-x^3 debaixo da raiz.

Passo 2

Vamos fazer a substituição
u = 1 - x^3
Então
du = -3x^2,dx Longrightarrow x^2,dx = -tfrac13,du
Substituindo na integral,
integral 9x^2raiz1-x^3,dx = 9integral x^2,dxraizu = 9integral -tfrac13,duu^1/2 = -3integral u^-1/2,du
Integrando,
-3integral u^-1/2,du = -3l(u^1/2tfrac12r)+C = -6u^1/2+C = -6raiz1-x^3+C

Passo 3

Para verificar, derivamos F(x) = -6raiz1-x^3:
F'(x) = -6cdottfrac12,(1-x^3)^-1/2cdot(-3x^2) = 9x^2raiz1-x^3,
que é exatamente o integrando original. Logo, a solução está correta.

Resposta

-6raiz1-x^3+C

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