Resolva as equações abaixo.
y^prime prime+5 y^prime+6 y=x cdot e^-5 x

Passo 1

Temos a EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + 5y' + 6y = x,e^-5x
O conteúdo é “EDO não homogênea” e vamos usar método dos coeficientes a determinar: primeiro achamos a solução geral da parte homogênea, depois uma solução particular do tipo polinomial vezes exponencial.

Passo 2

A equação homogênea associada é
y'' + 5y' + 6y = 0
O polinômio característico é
r^2 + 5r + 6 = 0 Longrightarrow (r+2)(r+3)=0,
logo as raízes são r=-2 e r=-3. Assim a solução homogênea é
yh = C1 e^-2x + C2 e^-3x

Passo 3

Para a parte não homogênea o termo à direita é x e^-5x. Como e^-5x não é solução da homogênea, propomos
yp = e^-5xl(Ax + Br),
onde A e B são constantes a determinar.

Passo 4

Calculamos as derivadas de yp: seja u(x)=Ax+B, então
yp = e^-5xu, yp' = e^-5xl(u' -5ur) = e^-5xl(A -5Ax-5Br),
yp'' = e^-5xl((A -5Ax-5B)' -5(A -5Ax-5B)r) = e^-5xl(-5A -5(A -5Ax-5B)r) = e^-5xl(25Ax +25B -10Ar)

Passo 5

Substituímos em y''+5y'+6y:
y''+5y'+6y = e^-5xl(25Ax +25B -10Ar) +5,e^-5xl(A -5Ax-5Br) +6,e^-5xl(Ax+Br)
Agrupando coeficientes de x e constantes dentro de e^-5x surge
(25A -25A +6A),x + (25B -10A +5A -25B +6B) =6A,x + (6B -5A)
Queremos que isso seja igual a x,e^-5x, isto é
6A = 1, 6B -5A = 0

Passo 6

Resolvendo o sistema para A e B:
A = 16, 6B -5cdot16 = 0 ;Longrightarrow; B = 536
Logo a solução particular é
yp = e^-5xl(16x + 536r)

Passo 7

A solução geral da EDO é a soma da homogênea com a particular:
y(x) = C1 e^-2x + C2 e^-3x + e^-5xl(16x + 536r)

Resposta

y(x) = C1 e^-2x + C2 e^-3x + e^-5xl(tfrac16x + tfrac536r)

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