Seja f(x)=arctan (3 x). Calcule f^prime(1 / 3)= ?

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=arctan(3x) e pede sua derivada em x=tfrac13. O conteúdo aqui é derivar uma composição de funções, usando a regra da cadeia e a fórmula da derivada de arctan(u).

Passo 2

Sabemos que a derivada de arctan(u) em relação a u é
ddul[arctan(u)r]=11+u^2

Passo 3

Aplicando a regra da cadeia para f(x)=arctan(3x), tomamos u=3x. Então
f'(x) =ddxl[arctan(u)r]gr|u=3x =11+u^2cdotdudx =11+(3x)^2cdot 3 =31+9x^2

Passo 4

Agora avaliamos em x=tfrac13:
f'l(tfrac13r) =31+9l(tfrac13r)^2 =31+9cdottfrac19 =31+1 =32

Resposta

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