(RA1) A taxa de crescimento da população de uma cidade da América do Sul é prevista por , onde é a população no instante , medidos em anos a partir do presente. Suponha que a população atual seja de 100000. Qual é a previsão:
a) Da taxa de crescimento daqui a 5 anos?
b) Da população daqui a 5 anos?
Passo 1
O enunciado nos dá a taxa de crescimento da população por
com condição inicial . O que pedem é
a) a taxa de crescimento em anos, ou seja ,
b) a população em t=5 anos, isto é P(5). Para resolver, vamos usar substituição direta na derivada (parte a) e integração da equação diferencial com a condição inicial (parte b).
Passo 2
Para a parte (a), basta substituir t=5 em
dPdt = 1000,t^1,08
Logo,
ldPdtr|t=5 =1000cdot 5^1,08
Passo 3
Para a parte (b), integramos ambos os lados em relação a t:
integral dPdt,dt = integral 1000,t^1,08,dt ;Longrightarrow; P(t) = 1000integral t^1,08dt + C
Como integral t^1,08dt = t^2,082,08, temos
P(t)=1000cdott^2,082,08+C
Passo 4
Usamos a condição inicial P(0)=100000. Como 0^2,08=0, fica
100000 = 1000cdot02,08+C ;Longrightarrow; C = 100000
Portanto
P(t)=10002,08,t^2,08+100000
Passo 5
Agora avaliamos em t=5:
P(5)=10002,08,5^2,08+100000
Para facilitar, podemos dar valor numérico aproximado: 5^1,08approx5,67, logo