(RA1) A taxa de crescimento da população de uma cidade da América do Sul é prevista por d Pd t=1000 t^1,08, onde P é a população no instante t, medidos em anos a partir do presente. Suponha que a população atual seja de 100000. Qual é a previsão:
a) Da taxa de crescimento daqui a 5 anos?
b) Da população daqui a 5 anos?

Passo 1

O enunciado nos dá a taxa de crescimento da população por
dPdt = 1000,t^1,08,
com condição inicial P(0)=100000. O que pedem é
a) a taxa de crescimento em t=5 anos, ou seja ldPdtr|t=5,
b) a população em t=5 anos, isto é P(5). Para resolver, vamos usar substituição direta na derivada (parte a) e integração da equação diferencial com a condição inicial (parte b).

Passo 2

Para a parte (a), basta substituir t=5 em
dPdt = 1000,t^1,08
Logo,
ldPdtr|t=5 =1000cdot 5^1,08

Passo 3

Para a parte (b), integramos ambos os lados em relação a t:
integral dPdt,dt = integral 1000,t^1,08,dt ;Longrightarrow; P(t) = 1000integral t^1,08dt + C
Como integral t^1,08dt = t^2,082,08, temos
P(t)=1000cdott^2,082,08+C

Passo 4

Usamos a condição inicial P(0)=100000. Como 0^2,08=0, fica
100000 = 1000cdot02,08+C ;Longrightarrow; C = 100000
Portanto
P(t)=10002,08,t^2,08+100000

Passo 5

Agora avaliamos em t=5:
P(5)=10002,08,5^2,08+100000
Para facilitar, podemos dar valor numérico aproximado:
5^1,08approx5,67, logo
ldPdtr|t=5approx1000times5,67=5670
E
5^2,08approx28,41 ;Longrightarrow; P(5)approx10002,08times28,41+100000 approx13663+100000=113663

Resposta

a) ldPdtr|t=5=1000cdot5^1,08approx5670.
b) P(5)=100000+10002,08,5^2,08approx113663.

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