1. (RA2) A posição de uma partícula é dada por x(t)=(2,5) \times \cos (\boldsymbol{\pi}) t, com x em metros e t segundos.
a) Determine a velocidade máxima e a aceleração máxima da partícula;

Passo 1

O enunciado fornece a posição da partícula em função do tempo:
x(t) = (2,5)\times \cos\!\bigl(\pi t\bigr),
onde x está em metros e t em segundos. Então, das informações dadas podemos extrair:
  • amplitude: A = 2,5\\ \text{m} (peguei este valor do enunciado);
  • fator angular dentro do cosseno: \omega = \pi\\ \text{rad/s} (peguei isto do enunciado, pois a função é \cos(\pi t)).
O que o problema pede:
  • determinar a velocidade máxima da partícula;
  • determinar a aceleração máxima da partícula.

Passo 2

O que significa velocidade e como obtê-la aqui. Velocidade é a derivada temporal da posição. Em símbolos, se x(t) é a posição, a velocidade instantânea é
v(t)=\frac{dx}{dt}.
Regra útil (cadeia): a derivada de \cos(u(t)) é -\sin(u(t))\cdot u'(t). Aplicando isso a x(t)=A\cos(\omega t) (com A e \omega constantes) obtemos:
v(t)=\frac{d}{dt}\bigl(A\cos(\omega t)\bigr) = -A\,\omega\,\sin(\omega t).
Aqui cada símbolo significa:
  • A = amplitude (metros);
  • \omega = constante multiplicando t dentro do cosseno, chamada de frequência angular (rad/s);
  • \sin(\omega t) = função seno dependente do tempo.

Passo 3

Aceleração é a derivada temporal da velocidade. Em símbolos:
a(t)=\frac{dv}{dt}=\frac{d^2 x}{dt^2}.
Derivando v(t)=-A\omega\sin(\omega t) usando novamente a regra da cadeia (derivada de \sin é \cos vezes a derivada interna), obtemos:
a(t) = -A\omega\cdot \frac{d}{dt}\bigl(\sin(\omega t)\bigr) = -A\omega\cdot \bigl(\omega\cos(\omega t)\bigr) = -A\,\omega^{2}\cos(\omega t).

Passo 4

Como achar os valores máximos. As funções \sin(\theta) e \cos(\theta) têm amplitude máxima 1 em módulo, isto é |\sin(\theta)|\le 1 e |\cos(\theta)|\le 1 para todo \theta. Portanto:
  • o valor máximo em módulo da velocidade é A\omega, porque v(t)=-A\omega\sin(\omega t) e |\sin(\omega t)|\le 1;
  • o valor máximo em módulo da aceleração é A\omega^{2}, porque a(t)=-A\omega^{2}\cos(\omega t) e |\cos(\omega t)|\le 1.
Obs.: o sinal (±) diz respeito à direção; normalmente quando se pede “velocidade máxima” e “aceleração máxima” quer-se o valor absoluto máximo (módulo).

Passo 5

Agora substituo os valores numéricos extraídos no Passo 1: A=2,5 e \omega=\pi.
Calculemos a velocidade máxima em módulo:
v_{\max}=A\omega = 2,5\times \pi.
Usando \pi\approx 3,14159:
v_{\max}=2,5\times 3,14159 \approx 7,85398\\ \text{m/s}.

Passo 6

Calculemos a aceleração máxima em módulo:
a_{\max}=A\omega^{2}=2,5\times \pi^{2}.
Usando \pi^{2}\approx 9,86960:
a_{\max}=2,5\times 9,86960 \approx 24,6740\\ \text{m/s}^2.

Passo 7

Interpretando os resultados de forma prática (dica para prova): para qualquer movimento harmônico simples x(t)=A\cos(\omega t) as fórmulas rápidas são
v_{\max}=A\omega,\qquad a_{\max}=A\omega^{2}.
Decora isso e, na prova, extraia A e \omega do enunciado e aplique diretamente.

Resposta

v_{\max}=2,5\pi\\ \text{m/s}\approx 7,85398\\ \text{m/s}
a_{\max}=2,5\pi^{2}\\ \text{m/s}^{2}\approx 24,6740\\ \text{m/s}^{2}

Exercícios relacionados