- (RA2) A posição de uma partícula é dada por
, com
em metros e
segundos.
a) Determine a velocidade máxima e a aceleração máxima da partícula;
Passo 1
O enunciado fornece a posição da partícula em função do tempo:
onde
está em metros e
em segundos. Então, das informações dadas podemos extrair:
- amplitude:
(peguei este valor do enunciado); - fator angular dentro do cosseno:
(peguei isto do enunciado, pois a função é ).
O que o problema pede:
- determinar a velocidade máxima da partícula;
- determinar a aceleração máxima da partícula.
Passo 2
O que significa velocidade e como obtê-la aqui. Velocidade é a derivada temporal da posição. Em símbolos, se
é a posição, a velocidade instantânea é
Regra útil (cadeia): a derivada de
é
. Aplicando isso a
(com
e
constantes) obtemos:
Aqui cada símbolo significa:
-
= amplitude (metros); -
= constante multiplicando dentro do cosseno, chamada de frequência angular (rad/s); -
= função seno dependente do tempo.
Passo 3
Aceleração é a derivada temporal da velocidade. Em símbolos:
Derivando
usando novamente a regra da cadeia (derivada de
é
vezes a derivada interna), obtemos:
Passo 4
Como achar os valores máximos. As funções
e
têm amplitude máxima
em módulo, isto é
e
para todo
. Portanto:
- o valor máximo em módulo da velocidade é
, porque e ; - o valor máximo em módulo da aceleração é
, porque e .
Obs.: o sinal (±) diz respeito à direção; normalmente quando se pede “velocidade máxima” e “aceleração máxima” quer-se o valor absoluto máximo (módulo).
Passo 5
Agora substituo os valores numéricos extraídos no Passo 1:
e
.
Calculemos a velocidade máxima em módulo:
Calculemos a velocidade máxima em módulo:
Usando
:
Passo 6
Calculemos a aceleração máxima em módulo:
Usando
:
Passo 7
Interpretando os resultados de forma prática (dica para prova): para qualquer movimento harmônico simples
as fórmulas rápidas são
Decora isso e, na prova, extraia
e
do enunciado e aplique diretamente.