Racionalize o denominador de cada expressão a seguir:
Passo 1
O enunciado pede para racionalizar o denominador da expressão abaixo. Aqui estão as informações dadas:
- Expressão:
. - Pedido: eliminar qualquer radical que esteja no denominador (ou seja, escrever a expressão equivalente sem raiz no denominador).
Passo 2
O que significa “racionalizar o denominador”?
Significa transformar a expressão de modo que o denominador não contenha raízes (raízes n-ésimas). Uma técnica comum é multiplicar numerador e denominador por uma raiz apropriada que transforme o expoente dentro da raiz em um múltiplo de (no caso de raiz nona), de modo que a raiz do denominador se torne um número inteiro.
Significa transformar a expressão de modo que o denominador não contenha raízes (raízes n-ésimas). Uma técnica comum é multiplicar numerador e denominador por uma raiz apropriada que transforme o expoente dentro da raiz em um múltiplo de
Passo 3
Converter a raiz em potência com expoente fracionário, para manipular mais facilmente. Lembrando que, em geral,
Aplicando ao denominador:
Passo 4
Escrever a expressão usando potências e simplificar pela regra de divisão de potências de mesma base, que diz
. Temos
Escrevendo
como
e subtraindo os expoentes:
Passo 5
Calcular a diferença dos expoentes:
Portanto
Reescrevendo novamente como raiz:
Isso já mostra a expressão sem raiz no denominador — o denominador foi eliminado.
Passo 6
(Se quiser ver o procedimento clássico com multiplicação por uma raiz complementar:) para eliminar a raiz no denominador multiplicar numerador e denominador por
, porque
. Então
confirmando o resultado encontrado antes.