Racionalize o denominador de cada expressão a seguir:
\frac{2}{\sqrt[9]{2^{7}}}

Passo 1

O enunciado pede para racionalizar o denominador da expressão abaixo. Aqui estão as informações dadas:
  • Expressão: \displaystyle \frac{2}{\sqrt[9]{2^{7}}}.
  • Pedido: eliminar qualquer radical que esteja no denominador (ou seja, escrever a expressão equivalente sem raiz no denominador).

Passo 2

O que significa “racionalizar o denominador”?
Significa transformar a expressão de modo que o denominador não contenha raízes (raízes n-ésimas). Uma técnica comum é multiplicar numerador e denominador por uma raiz apropriada que transforme o expoente dentro da raiz em um múltiplo de 9 (no caso de raiz nona), de modo que a raiz do denominador se torne um número inteiro.

Passo 3

Converter a raiz em potência com expoente fracionário, para manipular mais facilmente. Lembrando que, em geral,
\sqrt[n]{a^{m}} = a^{m/n}.
Aplicando ao denominador:
\sqrt[9]{2^{7}} = 2^{7/9}.

Passo 4

Escrever a expressão usando potências e simplificar pela regra de divisão de potências de mesma base, que diz a^{p}/a^{q}=a^{p-q}. Temos
\frac{2}{\sqrt[9]{2^{7}}} = \frac{2}{2^{7/9}}.
Escrevendo 2 como 2^{1} e subtraindo os expoentes:
\frac{2}{2^{7/9}} = 2^{1 - 7/9}.

Passo 5

Calcular a diferença dos expoentes:
1 - \frac{7}{9} = \frac{9}{9} - \frac{7}{9} = \frac{2}{9}.
Portanto
2^{1 - 7/9} = 2^{2/9}.
Reescrevendo novamente como raiz:
2^{2/9} = \sqrt[9]{2^{2}} = \sqrt[9]{4}.
Isso já mostra a expressão sem raiz no denominador — o denominador foi eliminado.

Passo 6

(Se quiser ver o procedimento clássico com multiplicação por uma raiz complementar:) para eliminar a raiz no denominador multiplicar numerador e denominador por \sqrt[9]{2^{2}}, porque 7+2=9. Então
\frac{2}{\sqrt[9]{2^{7}}}\cdot\frac{\sqrt[9]{2^{2}}}{\sqrt[9]{2^{2}}} = \frac{2\sqrt[9]{2^{2}}}{\sqrt[9]{2^{9}}} = \frac{2\sqrt[9]{2^{2}}}{2} = \sqrt[9]{2^{2}} = \sqrt[9]{4},
confirmando o resultado encontrado antes.

Resposta

\sqrt[9]{4}

Exercícios relacionados