Racionalize os denominadores das seguintes frações:
\frac{21}{2 \sqrt{7}}

Passo 1

O enunciado pede: racionalizar o denominador da fração
\frac{21}{2\sqrt{7}}.
Informações relevantes: o denominador é 2\sqrt{7}, ou seja, contém uma raiz quadrada simples \sqrt{7}. O objetivo é reescrever a fração de modo que o denominador seja um número racional (sem raízes).

Passo 2

Ideia-chave (explicação didática): para eliminar uma raiz do denominador quando ele é do tipo a\sqrt{b} (produto de um número racional a pela raiz \sqrt{b}), basta multiplicar numerador e denominador por \sqrt{b}. Isso funciona porque multiplicar por
\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}}
é multiplicar por 1, logo não altera o valor da fração, mas transforma \sqrt{b}\cdot\sqrt{b} em b, que é racional. Aqui b=7.

Passo 3

Multiplico numerador e denominador por \sqrt{7}:
\frac{21}{2\sqrt{7}}\cdot\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}=\frac{21\sqrt{7}}{2\bigl(\sqrt{7}\cdot\sqrt{7}\bigr)}.

Passo 4

Simplifico o produto das raízes: \sqrt{7}\cdot\sqrt{7}=7. Portanto o denominador fica 2\cdot 7=14. Assim:
\frac{21\sqrt{7}}{2\bigl(\sqrt{7}\cdot\sqrt{7}\bigr)}=\frac{21\sqrt{7}}{14}.

Passo 5

Reduzo a fração dividindo numerador e denominador por 7 (fator comum):
\frac{21\sqrt{7}}{14}=\frac{7\cdot 3\sqrt{7}}{7\cdot 2}=\frac{3\sqrt{7}}{2}.
Aqui usei que 21/14=3/2, o que dá a forma final com denominador racional.

Resposta

\displaystyle \frac{3\sqrt{7}}{2}

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