Racionalize os denominadores das seguintes frações:
Passo 1
O que o problema pede e o que se dá: pede-se racionalizar o denominador da fração
. Ou seja, transformar essa fração numa forma equivalente cuja parte de baixo (denominador) não contenha raiz irracional. A única informação que temos é a própria fração
.
Passo 2
Ideia do método (explicação didática): quando o denominador é uma diferença do tipo
, uma técnica eficiente é multiplicar numerador e denominador pelo conjugado
. O “conjugado” de
é
. Por que isso ajuda? Porque o produto dos conjugados é uma diferença de quadrados:
que é um número racional quando
e
são racionais. Aqui
e
. Esse é o princípio que vamos usar.
Passo 3
Aplicando o método: multiplicamos a fração por
, que é igual a
, portanto não altera o valor:
Passo 4
Calcular o denominador usando a diferença de quadrados. Primeiro observe que
. Então:
Passo 5
Substituindo o denominador calculado, a fração fica
Se desejar, pode escrever essa resposta separando em termos:
o que mostra explicitamente que o denominador agora é racional.