Racionalize os denominadores das seguintes frações:
\frac{1}{3-\sqrt{5}}

Passo 1

O que o problema pede e o que se dá: pede-se racionalizar o denominador da fração \frac{1}{3-\sqrt{5}}. Ou seja, transformar essa fração numa forma equivalente cuja parte de baixo (denominador) não contenha raiz irracional. A única informação que temos é a própria fração \frac{1}{3-\sqrt{5}}.

Passo 2

Ideia do método (explicação didática): quando o denominador é uma diferença do tipo a-\sqrt{b}, uma técnica eficiente é multiplicar numerador e denominador pelo conjugado a+\sqrt{b}. O “conjugado” de a-\sqrt{b} é a+\sqrt{b}. Por que isso ajuda? Porque o produto dos conjugados é uma diferença de quadrados:
(a-\sqrt{b})(a+\sqrt{b})=a^{2}-(\sqrt{b})^{2}=a^{2}-b,
que é um número racional quando a e b são racionais. Aqui a=3 e b=5. Esse é o princípio que vamos usar.

Passo 3

Aplicando o método: multiplicamos a fração por \dfrac{3+\sqrt{5}}{3+\sqrt{5}}, que é igual a 1, portanto não altera o valor:
\frac{1}{3-\sqrt{5}}\cdot\frac{3+\sqrt{5}}{3+\sqrt{5}} =\frac{3+\sqrt{5}}{(3-\sqrt{5})(3+\sqrt{5})}.

Passo 4

Calcular o denominador usando a diferença de quadrados. Primeiro observe que (\sqrt{5})^{2}=5. Então:
(3-\sqrt{5})(3+\sqrt{5})=3^{2}-(\sqrt{5})^{2}=9-5=4.

Passo 5

Substituindo o denominador calculado, a fração fica
\frac{3+\sqrt{5}}{4}.
Se desejar, pode escrever essa resposta separando em termos:
\frac{3+\sqrt{5}}{4}=\frac{3}{4}+\frac{\sqrt{5}}{4},
o que mostra explicitamente que o denominador agora é racional.

Resposta

\dfrac{3+\sqrt{5}}{4}

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