Racionalize os denominadores, supondo que
pertença a um domínio adequado.
Passo 1
O enunciado pede para racionalizar o denominador da expressão
supondo que
pertença a um domínio adequado. Informações relevantes que o enunciado dá ou implica:
- A expressão contém
, portanto é necessário ter o argumento da raiz não-negativo: . - O denominador
não pode ser zero, pois dividir por zero é proibido. - Logo, as restrições iniciais que precisamos lembrar são
(para a raiz) e (ou seja, ).
Passo 2
O truque para racionalizar um denominador do tipo
é multiplicar numerador e denominador pela conjugada do denominador, que é
. Explicando por que isso funciona:
- A conjugada de
é . - O produto
é uma diferença de quadrados e vale . - Aqui isso elimina a raiz no denominador porque
.
Passo 3
Aplicamos esse procedimento ao nosso caso, tomando
e
. Multiplicamos numerador e denominador por
(ou seja, multiplicamos por
):
Passo 4
Calculemos o denominador usando a diferença de quadrados:
Podemos escrever
como
.
Passo 5
Substituindo o denominador simplificado, a fração fica
Aqui aparece um fator comum
no numerador e no denominador.
Passo 6
Podemos cancelar o fator
, mas isso só é válido quando
, ou seja,
. Após o cancelamento obtemos
válido para
.
Passo 7
Juntando com a condição da raiz (
) temos o domínio apropriado:
e
. Nesses valores de
a expressão original e a expressão racionalizada coincidem. Observação: a forma simplificada está definida em
(dá
), mas isso não importa — não se pode substituir na expressão original porque nela o denominador seria zero em
.
Passo 8
Para dar mais segurança, um teste numérico rápido: para
a forma original é
e a forma racionalizada é
. Numericamente ambas valem aproximadamente
, confirmando a equivalência no domínio.