Racionalize os denominadores, supondo que
pertença a um domínio adequado.
Passo 1
O que o enunciado pede: racionalizar o denominador da expressão
Informações fornecidas e restrições (domínio adequado):
- As raízes quadradas exigem que
. - O denominador não pode ser zero, portanto
, ou seja . - Resumindo: o domínio considerado é
com .
Passo 2
Idéia do método (explicação didática): para eliminar raízes do denominador quando ele é uma diferença de duas raízes, multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado do denominador. O conjugado de
é
. Isso funciona porque
ou seja, obtemos uma diferença de quadrados sem raízes no resultado do denominador.
Passo 3
Multiplico a expressão pelo conjugado sobre si mesmo (fator igual a
) para não alterar o valor:
Passo 4
Agora simplifico os produtos de raízes no numerador; uso a propriedade
quando
(aqui vale porque
).
Primeiro termo:
Como
, tem-se
. Logo
Segundo termo:
Substituindo no numerador:
Portanto a expressão racionalizada é
Passo 5
Observação adicional (forma alternativa): pode-se fatorar
no numerador para obter outra forma equivalente:
mas ambas as formas têm o denominador sem raízes.
Lembrete do domínio: continua valendo
e
.