Racionalize os denominadores, supondo que x pertença a um domínio adequado.
\frac{\sqrt{3 x}}{\sqrt{x}-\sqrt{3}}

Passo 1

O que o enunciado pede: racionalizar o denominador da expressão
\frac{\sqrt{3x}}{\sqrt{x}-\sqrt{3}}.
Informações fornecidas e restrições (domínio adequado):
  • As raízes quadradas exigem que x\ge 0.
  • O denominador não pode ser zero, portanto \sqrt{x}-\sqrt{3}\neq 0, ou seja x\neq 3.
  • Resumindo: o domínio considerado é x\ge 0 com x\neq 3.

Passo 2

Idéia do método (explicação didática): para eliminar raízes do denominador quando ele é uma diferença de duas raízes, multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado do denominador. O conjugado de \sqrt{x}-\sqrt{3} é \sqrt{x}+\sqrt{3}. Isso funciona porque
(\sqrt{x}-\sqrt{3})(\sqrt{x}+\sqrt{3})=(\sqrt{x})^2-(\sqrt{3})^2=x-3,
ou seja, obtemos uma diferença de quadrados sem raízes no resultado do denominador.

Passo 3

Multiplico a expressão pelo conjugado sobre si mesmo (fator igual a 1) para não alterar o valor:
\frac{\sqrt{3x}}{\sqrt{x}-\sqrt{3}}\cdot\frac{\sqrt{x}+\sqrt{3}}{\sqrt{x}+\sqrt{3}} =\frac{\sqrt{3x}\,(\sqrt{x}+\sqrt{3})}{(\sqrt{x})^2-(\sqrt{3})^2} =\frac{\sqrt{3x}\,\sqrt{x}+\sqrt{3x}\,\sqrt{3}}{x-3}.

Passo 4

Agora simplifico os produtos de raízes no numerador; uso a propriedade \sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab} quando a,b\ge 0 (aqui vale porque x\ge 0).
Primeiro termo:
\sqrt{3x}\,\sqrt{x}=\sqrt{3x^2}=\sqrt{3}\,\sqrt{x^2}.
Como x\ge 0, tem-se \sqrt{x^2}=x. Logo
\sqrt{3x}\,\sqrt{x}=x\sqrt{3}.
Segundo termo:
\sqrt{3x}\,\sqrt{3}=\sqrt{9x}=3\sqrt{x}.
Substituindo no numerador:
\sqrt{3x}\,\sqrt{x}+\sqrt{3x}\,\sqrt{3}=x\sqrt{3}+3\sqrt{x}.
Portanto a expressão racionalizada é
\frac{x\sqrt{3}+3\sqrt{x}}{x-3}.

Passo 5

Observação adicional (forma alternativa): pode-se fatorar \sqrt{x} no numerador para obter outra forma equivalente:
\frac{x\sqrt{3}+3\sqrt{x}}{x-3}=\frac{\sqrt{x}\,(\sqrt{3x}+3)}{x-3},
mas ambas as formas têm o denominador sem raízes.
Lembrete do domínio: continua valendo x\ge 0 e x\neq 3.

Resposta

\frac{x\sqrt{3}+3\sqrt{x}}{x-3}

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