Racionalize a expressão e simplifique.
\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{2}-3}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que ele dá:
  • Dá a expressão \dfrac{\sqrt{10}}{\sqrt{2}-3}.
  • Pede para racionalizar (ou seja, eliminar raízes do denominador) e simplificar a expressão resultante.

Passo 2

Entendendo a ideia de racionalizar o denominador (aulas rápidas e práticas).
  • Quando temos um denominador do tipo \sqrt{a}-b (ou \sqrt{a}+b), a técnica padrão é multiplicar numerador e denominador pelo conjugado, que é \sqrt{a}+b (ou \sqrt{a}-b respectivamente).
  • Por que isso funciona? Porque
(\sqrt{a}-b)(\sqrt{a}+b)=(\sqrt{a})^2-b^2=a-b^2,
ou seja, multiplicando pelos conjugados obtemos uma diferença de quadrados, que elimina a raiz do denominador. Vamos aplicar isso aqui.

Passo 3

Multiplico numerador e denominador pelo conjugado do denominador \sqrt{2}+3:
\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{2}-3}\cdot\frac{\sqrt{2}+3}{\sqrt{2}+3} =\frac{\sqrt{10}\,(\sqrt{2}+3)}{(\sqrt{2}-3)(\sqrt{2}+3)}.

Passo 4

Calculo o denominador usando diferença de quadrados:
(\sqrt{2}-3)(\sqrt{2}+3)=(\sqrt{2})^2-3^2=2-9=-7.

Passo 5

Calculo o numerador multiplicando \sqrt{10} por cada termo:
\sqrt{10}\,(\sqrt{2}+3)=\sqrt{10}\sqrt{2}+3\sqrt{10}=\sqrt{20}+3\sqrt{10}.

Passo 6

Simplifico \sqrt{20}. Como \sqrt{20}=\sqrt{4\cdot5}=2\sqrt{5}, o numerador fica
\sqrt{20}+3\sqrt{10}=2\sqrt{5}+3\sqrt{10}.

Passo 7

Coloco tudo sobre o denominador calculado e arrumo o sinal (o denominador é -7):
\frac{2\sqrt{5}+3\sqrt{10}}{-7}.
É comum retirar o sinal negativo para a frente da fração:
-\frac{2\sqrt{5}+3\sqrt{10}}{7}.
Também é possível fatorar \sqrt{5} no numerador:
-\frac{\sqrt{5}\,(2+3\sqrt{2})}{7},
que é equivalente.

Resposta

-\dfrac{2\sqrt{5}+3\sqrt{10}}{7}

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