Simplifique as expressões racionais.
Passo 1
O que o enunciado pede: simplificar a expressão racional
Informações dadas:
- O numerador é o polinômio
. - O denominador é o polinômio
. - A tarefa é escrever essa fração de forma mais simples, removendo fatores comuns quando possível e indicando restrições necessárias (se houver).
Passo 2
Ideia principal (fórmula e conceito explicado): quando temos uma expressão polinomial no numerador e no denominador, a simplificação consiste em fatorar cada polinômio e cancelar fatores idênticos que apareçam em cima e embaixo. O procedimento mais simples de fatoração que aparece aqui é “fator comum”: se um polinômio tem todos os termos com um fator em comum, esse fator pode ser colocado em evidência usando a propriedade distributiva. A propriedade distributiva diz que
portanto, se temos
, podemos reescrever como
. Aqui o objetivo é identificar um fator comum em cada termo do numerador.
Passo 3
Aplicando fator comum no numerador: o numerador
tem
em comum em ambos os termos (pois
e
). Colocando
em evidência:
O denominador
não tem fator comum óbvio (os coeficientes 2 e 1 não têm
em ambos os termos), então ele permanece como está:
Passo 4
Reescrevendo a fração com o numerador fatorado:
Agora devemos verificar se algum dos fatores do numerador coincide com o fator do denominador, permitindo cancelamento. Os fatores do numerador são
e
. O denominador é
.
Para haver cancelamento, precisaríamos ter
proporcional a
(isto é,
para algum escalar
) ou proporcional a
(isto é,
). Fazendo as comparações de coeficientes:
- Se
, então comparando coeficientes de vem e comparando termos constantes vem , impossível. - Se
, então (coeficiente de ) e (termo constante), o que exigiria , impossível.
Portanto não existe fator comum não trivial entre numerador e denominador: nenhum dos fatores
ou
coincide com
. Logo não é possível cancelar nada.
Passo 5
Conclusão: a forma fatorada e mais simples que se obtém é
sujeita à restrição de domínio que vem do denominador não ser zero: