Simplifique as expressões racionais.
\frac{x^{2}+x}{2 x+1}

Passo 1

O que o enunciado pede: simplificar a expressão racional
\frac{x^{2}+x}{2x+1}.
Informações dadas:
  • O numerador é o polinômio \,x^{2}+x.
  • O denominador é o polinômio \,2x+1.
  • A tarefa é escrever essa fração de forma mais simples, removendo fatores comuns quando possível e indicando restrições necessárias (se houver).

Passo 2

Ideia principal (fórmula e conceito explicado): quando temos uma expressão polinomial no numerador e no denominador, a simplificação consiste em fatorar cada polinômio e cancelar fatores idênticos que apareçam em cima e embaixo. O procedimento mais simples de fatoração que aparece aqui é “fator comum”: se um polinômio tem todos os termos com um fator em comum, esse fator pode ser colocado em evidência usando a propriedade distributiva. A propriedade distributiva diz que
a(b+c)=ab+ac,
portanto, se temos ab+ac, podemos reescrever como a(b+c). Aqui o objetivo é identificar um fator comum em cada termo do numerador.

Passo 3

Aplicando fator comum no numerador: o numerador \,x^{2}+x tem x em comum em ambos os termos (pois x^{2}=x\cdot x e x= x\cdot 1). Colocando x em evidência:
x^{2}+x = x(x+1).
O denominador \,2x+1 não tem fator comum óbvio (os coeficientes 2 e 1 não têm x em ambos os termos), então ele permanece como está:
2x+1.

Passo 4

Reescrevendo a fração com o numerador fatorado:
\frac{x^{2}+x}{2x+1}=\frac{x(x+1)}{2x+1}.
Agora devemos verificar se algum dos fatores do numerador coincide com o fator do denominador, permitindo cancelamento. Os fatores do numerador são x e x+1. O denominador é 2x+1.
Para haver cancelamento, precisaríamos ter 2x+1 proporcional a x (isto é, 2x+1=kx para algum escalar k) ou proporcional a x+1 (isto é, 2x+1=k(x+1)). Fazendo as comparações de coeficientes:
  • Se 2x+1=kx, então comparando coeficientes de x vem 2=k e comparando termos constantes vem 1=0, impossível.
  • Se 2x+1=k(x+1), então 2=k (coeficiente de x) e 1=k (termo constante), o que exigiria 2=1, impossível.
Portanto não existe fator comum não trivial entre numerador e denominador: nenhum dos fatores x ou x+1 coincide com 2x+1. Logo não é possível cancelar nada.

Passo 5

Conclusão: a forma fatorada e mais simples que se obtém é
\frac{x(x+1)}{2x+1},
sujeita à restrição de domínio que vem do denominador não ser zero:
2x+1\neq0 \quad\Rightarrow\quad x\neq -\frac{1}{2}.

Resposta

\dfrac{x(x+1)}{2x+1}

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