Simplifique as expressões racionais.
\frac{x+2}{x^{2}+2 x}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão racional
\displaystyle \frac{x+2}{x^{2}+2x}.
Informações dadas:
  • Numerador: \;x+2.
  • Denominador: \;x^{2}+2x.
  • Deve-se ter atenção aos valores de x que tornam o denominador zero (esses valores não são permitidos).

Passo 2

Primeiro passo prático: fatorar o denominador. Fatorar significa escrever um polinômio como produto de fatores mais simples. Uma técnica comum é fator comum: se todos os termos têm um mesmo fator, esse fator pode ser colocado em evidência.
No denominador \;x^{2}+2x ambos os termos têm um fator x. Colocando x em evidência:
x^{2}+2x = x(x+2).

Passo 3

Reescrever a fração usando a fatoração que encontramos:
\frac{x+2}{x^{2}+2x} = \frac{x+2}{x(x+2)}.
Agora a fração está escrita como um produto no denominador, o que facilita ver fatores comuns entre numerador e denominador.

Passo 4

Regra de cancelamento: se um fator aparece no numerador e no denominador, pode-se simplificá‑lo (cancelá‑lo) desde que esse fator não seja zero, porque não se pode dividir por zero. Aqui o fator (x+2) aparece em cima e embaixo. Cancelando (x+2) obtemos
\frac{x+2}{x(x+2)} = \frac{1}{x},
mas lembrando que cancelamos um fator que pode ser zero quando x=-2. Além disso, o denominador original anulava-se também em x=0. Portanto devemos manter a restrição de domínio: x não pode ser 0 nem -2.

Passo 5

Verificação rápida com valores numéricos (para ganhar confiança): escolha x=2.
  • Original: \dfrac{2+2}{2^{2}+2\cdot2}=\dfrac{4}{4+4}=\dfrac{4}{8}=\dfrac{1}{2}.
  • Simplificado: \dfrac{1}{2}.
    Bate certinho. Para x=-2 o original é indefinido (denominador zero), enquanto a expressão simplificada daria -\tfrac{1}{2}; isso mostra por que é importante anotar as restrições de domínio — a forma simplificada não vale em x=-2.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{x},\; x\neq 0,\; x\neq -2

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