Racionalize as expressões
i) \frac{3 x y^{2}-3 y}{\sqrt[3]{x y}-1}

Passo 1

O enunciado pede para racionalizar a expressão
\frac{3 x y^{2}-3 y}{\sqrt[3]{x y}-1}.
Informações que temos:
  • Numerador: \,3 x y^{2}-3 y\,.
  • Denominador: \,\sqrt[3]{x y}-1\,.
    Objetivo: escrever a fração equivalente sem radical (raízes) no denominador — isto é, eliminar a raiz cúbica do denominador.

Passo 2

Primeiro passo algébrico simples: fatorar o numerador para ver se aparece algo que possa cancelar com o denominador. Temos
3 x y^{2}-3 y = 3y\,(x y - 1).
Expliquei: retirei o fator comum 3y, porque 3x y^{2}-3y = 3y(xy)-3y = 3y(xy-1).

Passo 3

Para trabalhar com a raiz cúbica, é útil fazer a substituição
a=\sqrt[3]{x y}.
Então
a^{3}=x y, \qquad \sqrt[3]{x y}-1 = a-1,
e, usando x y=a^{3}, a parte x y-1 do numerador fica a^{3}-1. Assim a expressão original se transforma em
\frac{3y\,(a^{3}-1)}{a-1}.

Passo 4

Agora uso a identidade muito útil para cubos:
a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2}).
Esta identidade pode ser comprovada expandindo o lado direito:
(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})=a^{3}+a^{2}b+ab^{2}-a^{2}b-ab^{2}-b^{3}=a^{3}-b^{3}.
No caso b=1 obtemos
a^{3}-1=(a-1)(a^{2}+a+1).

Passo 5

Substituindo essa fatoração em \dfrac{3y\,(a^{3}-1)}{a-1} obtemos
\frac{3y\,(a-1)(a^{2}+a+1)}{a-1}.
O fator (a-1) cancela (desde que a\neq1, condição natural para a expressão original não ter denominador zero), sobrando
3y\,(a^{2}+a+1).
Voltando à variável original a=\sqrt[3]{x y}, escrevemos o resultado sem radical no denominador:
3y\!\left(\bigl(\sqrt[3]{x y}\bigr)^{2}+\sqrt[3]{x y}+1\right).
Opcionalmente pode-se expressar \bigl(\sqrt[3]{x y}\bigr)^{2} como \sqrt[3]{x^{2}y^{2}}, então outra forma equivalente é
3y\!\left(\sqrt[3]{x^{2}y^{2}}+\sqrt[3]{x y}+1\right).

Resposta

3y\!\left(\bigl(\sqrt[3]{x y}\bigr)^{2}+\sqrt[3]{x y}+1\right)

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