Racionalize as expressões e simplifique o resultado:
Passo 1
O enunciado pede: racionalizar a expressão e simplificar o resultado da fração
.
Informações e hipóteses que vamos usar (essas são necessárias para que as operações façam sentido):
-
é uma variável real qualquer. -
é um número real positivo, ou seja . Isso garante que está bem definida como número real. - Além disso é necessário
para que o denominador não seja zero.
Passo 2
O que significa “racionalizar o denominador”?
Racionalizar o denominador é transformar uma fração que tem uma raiz no denominador em uma fração equivalente cujo denominador não contenha raízes (ou seja, seja um número racional simples). A técnica básica é multiplicar numerador e denominador por um fator que elimine a raiz do denominador — nesse caso, por .
Racionalizar o denominador é transformar uma fração que tem uma raiz no denominador em uma fração equivalente cujo denominador não contenha raízes (ou seja, seja um número racional simples). A técnica básica é multiplicar numerador e denominador por um fator que elimine a raiz do denominador — nesse caso, por
Lembrete: multiplicar uma expressão por
não altera seu valor porque
(desde que
).
Passo 3
Multiplicamos a expressão por
. Vou mostrar isso passo a passo:
Aqui, no numerador multiplicou-se
por
e no denominador multiplicaram-se as duas raízes
.
Passo 4
Agora simplificamos o denominador usando a identidade
(válida para
):
Como já afirmado, assumimos
, então a divisão por
é válida. Pronto: o denominador não tem mais raiz — racionalizamos com sucesso.
Passo 5
Discussões adicionais e formas equivalentes (úteis para a prova):
- Outra escrita equivalente é
, pois . - Caso especial: se
for um quadrado perfeito, escreva com . Então e a expressão simplifica para . - Exemplo numérico rápido para fixar: com
e temos .
Força aí — praticando alguns exemplos assim você pega o jeito rapidinho!