Racionalize as expressões e simplifique o resultado:
\frac{a}{\sqrt{b}}

Passo 1

O enunciado pede: racionalizar a expressão e simplificar o resultado da fração \frac{a}{\sqrt{b}}.
Informações e hipóteses que vamos usar (essas são necessárias para que as operações façam sentido):
  • a é uma variável real qualquer.
  • b é um número real positivo, ou seja b>0. Isso garante que \sqrt{b} está bem definida como número real.
  • Além disso é necessário b\neq 0 para que o denominador não seja zero.

Passo 2

O que significa “racionalizar o denominador”?
Racionalizar o denominador é transformar uma fração que tem uma raiz no denominador em uma fração equivalente cujo denominador não contenha raízes (ou seja, seja um número racional simples). A técnica básica é multiplicar numerador e denominador por um fator que elimine a raiz do denominador — nesse caso, por \sqrt{b}.
Lembrete: multiplicar uma expressão por \dfrac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}} não altera seu valor porque \dfrac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}}=1 (desde que \sqrt{b}\neq0).

Passo 3

Multiplicamos a expressão por \dfrac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}}. Vou mostrar isso passo a passo:
\frac{a}{\sqrt{b}}\cdot\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}}=\frac{a\sqrt{b}}{\sqrt{b}\,\sqrt{b}}.
Aqui, no numerador multiplicou-se a por \sqrt{b} e no denominador multiplicaram-se as duas raízes \sqrt{b}.

Passo 4

Agora simplificamos o denominador usando a identidade (\sqrt{b})^2=b (válida para b\ge 0):
\frac{a\sqrt{b}}{\sqrt{b}\,\sqrt{b}}=\frac{a\sqrt{b}}{(\sqrt{b})^2}=\frac{a\sqrt{b}}{b}.
Como já afirmado, assumimos b\neq0, então a divisão por b é válida. Pronto: o denominador não tem mais raiz — racionalizamos com sucesso.

Passo 5

Discussões adicionais e formas equivalentes (úteis para a prova):
  • Outra escrita equivalente é \dfrac{a}{b}\sqrt{b}, pois \dfrac{a\sqrt{b}}{b}=\dfrac{a}{b}\sqrt{b}.
  • Caso especial: se b for um quadrado perfeito, escreva b=c^2 com c>0. Então \sqrt{b}=c e a expressão simplifica para \dfrac{a}{c}.
  • Exemplo numérico rápido para fixar: com a=3 e b=2 temos \dfrac{3}{\sqrt{2}}=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}.
Força aí — praticando alguns exemplos assim você pega o jeito rapidinho!

Resposta

\dfrac{a\sqrt{b}}{b}

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