Fatore os seguintes polinomios:
x^{3}+6 x^{2}+12 x+8

Passo 1

O enunciado pede para fatorar o polinômio dado. As informações que temos são:
  • Polinômio a ser fatorado: x^{3}+6x^{2}+12x+8.
  • Objetivo: escrever esse polinômio como produto de fatores polinomiais (fatoração completa, usualmente sobre os racionais/reais).

Passo 2

Uma pista rápida é tentar reconhecer padrões de somas de potências. A fórmula do cubo de uma soma é:
(a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3},
onde a e b são quaisquer expressões. Aqui cada termo da fórmula tem um significado:
  • a^{3} é o cubo da primeira parcela,
  • 3a^{2}b é três vezes o quadrado da primeira vezes a segunda,
  • 3ab^{2} é três vezes a primeira vezes o quadrado da segunda,
  • b^{3} é o cubo da segunda parcela.
Se na nossa expressão tomarmos a=x e b=2, a fórmula fornece:
(x+2)^{3}=x^{3}+3x^{2}\cdot2+3x\cdot2^{2}+2^{3}.

Passo 3

Agora calculamos os coeficientes da expressão acima para ver se batem com o polinômio dado:
3x^{2}\cdot2=6x^{2},\qquad 3x\cdot2^{2}=3x\cdot4=12x,\qquad 2^{3}=8.
Somando todos os termos:
(x+2)^{3}=x^{3}+6x^{2}+12x+8.
Portanto a expressão do polinômio coincide com o desenvolvimento de (x+2)^{3}. (Na prova, reconhecer esse padrão é uma via muito rápida.)

Passo 4

Para garantir que não foi coincidência, podemos checar por outro método — o Teorema das Raízes Racionais seguido de divisão sintética — muito útil quando o padrão não é óbvio.
Aplicando o teste de raízes racionais, possíveis raízes são divisores de 8: \pm1,\pm2,\pm4,\pm8. Avaliando o polinômio em x=-2:
(-2)^{3}+6(-2)^{2}+12(-2)+8=-8+24-24+8=0.
Logo x=-2 é raiz, isto é, x+2 é fator.

Passo 5

Fazendo divisão sintética por x+2 (usando coeficientes 1,6,12,8) com a raiz -2:
  • Descer 1.
  • Multiplicar -2\cdot1=-2; somar a 6 obtém 4.
  • Multiplicar -2\cdot4=-8; somar a 12 obtém 4.
  • Multiplicar -2\cdot4=-8; somar a 8 obtém 0 (resto zero, confirma divisibilidade).
O quociente é o polinômio quadrático x^{2}+4x+4. Esse quadrático é um quadrado perfeito porque
x^{2}+4x+4=(x+2)^{2}.

Passo 6

Com a divisão encontramos que o polinômio se reduz para o fator linear x+2 e o quadrático x^{2}+4x+4, e vimos que esse quadrático é (x+2)^{2}. Outra forma de confirmar a multiplicidade da raiz é verificar derivadas: se f(x)=x^{3}+6x^{2}+12x+8, então
f(-2)=0,\qquad f'(-2)=0,\qquad f''(-2)=0,
e f'''(x)=6\neq0, o que indica raiz de multiplicidade 3 em x=-2. Portanto a fatoração completa é um cubo de um fator linear.

Resposta

(x+2)^{3}

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