Fatore os seguintes polinomios:
Passo 1
O enunciado pede para fatorar o polinômio dado. As informações que temos são:
- Polinômio a ser fatorado:
. - Objetivo: escrever esse polinômio como produto de fatores polinomiais (fatoração completa, usualmente sobre os racionais/reais).
Passo 2
Uma pista rápida é tentar reconhecer padrões de somas de potências. A fórmula do cubo de uma soma é:
onde
e
são quaisquer expressões. Aqui cada termo da fórmula tem um significado:
-
é o cubo da primeira parcela, -
é três vezes o quadrado da primeira vezes a segunda, -
é três vezes a primeira vezes o quadrado da segunda, -
é o cubo da segunda parcela.
Se na nossa expressão tomarmos
e
, a fórmula fornece:
Passo 3
Agora calculamos os coeficientes da expressão acima para ver se batem com o polinômio dado:
Somando todos os termos:
Portanto a expressão do polinômio coincide com o desenvolvimento de
. (Na prova, reconhecer esse padrão é uma via muito rápida.)
Passo 4
Para garantir que não foi coincidência, podemos checar por outro método — o Teorema das Raízes Racionais seguido de divisão sintética — muito útil quando o padrão não é óbvio.
Aplicando o teste de raízes racionais, possíveis raízes são divisores de
:
. Avaliando o polinômio em
:
Logo
é raiz, isto é,
é fator.
Passo 5
Fazendo divisão sintética por
(usando coeficientes
) com a raiz
:
- Descer
. - Multiplicar
; somar a obtém . - Multiplicar
; somar a obtém . - Multiplicar
; somar a obtém (resto zero, confirma divisibilidade).
O quociente é o polinômio quadrático
. Esse quadrático é um quadrado perfeito porque
Passo 6
Com a divisão encontramos que o polinômio se reduz para o fator linear
e o quadrático
, e vimos que esse quadrático é
. Outra forma de confirmar a multiplicidade da raiz é verificar derivadas: se
, então
e
, o que indica raiz de multiplicidade
em
. Portanto a fatoração completa é um cubo de um fator linear.