Se
, verifique que
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para verificar que as derivadas mistas de terceira ordem satisfazem
Informações relevantes:
são as variáveis independentes;
é tratada como constante quando derivamos em relação a
ou
e vice-versa. A verificação será feita calculando explicitamente as derivadas em ordens diferentes e comparando os resultados.
Passo 2
Estratégia: calcular explicitamente
-
, e então ; -
e então ; -
, e então .
Também vou explicar as regras que vou usar (produto e cadeia) para que fique claro como proceder nas contas.
Passo 3
Mini-aula rápida das regras usadas:
- Definição de derivada parcial: a derivada parcial de
em relação a , escrita , é a derivada de supondo e constantes. - Regra do produto: se
e são funções, então
- Regra da cadeia (caso exponencial): se temos
e diferenciamos em relação a ,
No nosso caso
, logo
e
.
Passo 4
Calcular
aplicando as regras acima. Tratar
e
como constantes.
Derivando em relação a
:
Derivando
Derivando
em relação a
(uso da cadeia):
Portanto
Passo 5
Calcular
(derivar
em relação a
).
Derivando em relação a
:
Derivando
Derivando
em relação a
(novamente cadeia;
é constante):
Portanto
Passo 6
Calcular
(derivar
em relação a
).
Derivando em relação a
:
Derivando
Derivando
em relação a
(nota:
independe de
):
Logo
Passo 7
Calcular
via
.
Já temos . Derivando
em relação a
:
Derivada de em
:
Já temos
Derivada de
Derivada de
em
:
Assim
Agora derivar
em
:
Derivada de em
:
Derivada de
Derivada de
em
(cadeia;
é constante multiplicativo):
Portanto
Passo 8
Calcular
via
.
Derivar em
:
Derivada de em
:
Derivar
Derivada de
Derivada de
em
:
Logo
Agora derivar
em
para obter
:
Derivada de em
:
Derivada de
Derivada de
em
:
Portanto
Finalmente, derivar
em
para obter
:
Derivada de em
:
Derivada de
Derivada de
em
:
Logo
Passo 9
Comparando os resultados obtidos:
Portanto todas as três derivadas coincidem, como pedido. (Isto também está de acordo com o teorema de Clairaut quando as derivadas parciais suficientes são contínuas, o que ocorre aqui porque
é combinação polinomial e exponencial suave.)