Se w=x^{4} y^{3} z-3 y^{2} e^{x z}, verifique que w_{x x y}=w_{x y x}=w_{y x x}.

Passo 1

O enunciado dá a função
w = x^{4} y^{3} z - 3 y^{2} e^{x z}
e pede para verificar que as derivadas mistas de terceira ordem satisfazem
w_{x x y} = w_{x y x} = w_{y x x}.
Informações relevantes: x,y,z são as variáveis independentes; z é tratada como constante quando derivamos em relação a x ou y e vice-versa. A verificação será feita calculando explicitamente as derivadas em ordens diferentes e comparando os resultados.

Passo 2

Estratégia: calcular explicitamente
  • w_x, w_{xx} e então w_{xxy};
  • w_{xy} e então w_{xyx};
  • w_y, w_{yx} e então w_{yxx}.
    Também vou explicar as regras que vou usar (produto e cadeia) para que fique claro como proceder nas contas.

Passo 3

Mini-aula rápida das regras usadas:
  • Definição de derivada parcial: a derivada parcial de w em relação a x, escrita w_x, é a derivada de w supondo y e z constantes.
  • Regra do produto: se u(x,y,z) e v(x,y,z) são funções, então
\frac{\partial}{\partial x}(u v)=u_x v+u v_x.
  • Regra da cadeia (caso exponencial): se temos e^{g(x,z)} e diferenciamos em relação a x,
\frac{\partial}{\partial x} e^{g(x,z)} = g_x(x,z)\, e^{g(x,z)}.
No nosso caso g(x,z)=xz, logo g_x=z e \dfrac{\partial}{\partial x}e^{xz}=z e^{xz}.

Passo 4

Calcular w_x aplicando as regras acima. Tratar y e z como constantes.
Derivando x^{4} y^{3} z em relação a x:
\frac{\partial}{\partial x}\big(x^{4} y^{3} z\big)=4 x^{3} y^{3} z.
Derivando -3 y^{2} e^{x z} em relação a x (uso da cadeia):
\frac{\partial}{\partial x}\big(-3 y^{2} e^{x z}\big)=-3 y^{2}\cdot z e^{x z}=-3 y^{2} z e^{x z}.
Portanto
w_x = 4 x^{3} y^{3} z - 3 y^{2} z e^{x z}.

Passo 5

Calcular w_{xx} (derivar w_x em relação a x).
Derivando 4 x^{3} y^{3} z em relação a x:
\frac{\partial}{\partial x}\big(4 x^{3} y^{3} z\big)=12 x^{2} y^{3} z.
Derivando -3 y^{2} z e^{x z} em relação a x (novamente cadeia; y^{2}z é constante):
\frac{\partial}{\partial x}\big(-3 y^{2} z e^{x z}\big)=-3 y^{2} z\cdot z e^{x z}=-3 y^{2} z^{2} e^{x z}.
Portanto
w_{xx}=12 x^{2} y^{3} z - 3 y^{2} z^{2} e^{x z}.

Passo 6

Calcular w_{x x y} (derivar w_{xx} em relação a y).
Derivando 12 x^{2} y^{3} z em relação a y:
\frac{\partial}{\partial y}\big(12 x^{2} y^{3} z\big)=12 x^{2} z\cdot 3 y^{2}=36 x^{2} y^{2} z.
Derivando -3 y^{2} z^{2} e^{x z} em relação a y (nota: e^{xz} independe de y):
\frac{\partial}{\partial y}\big(-3 y^{2} z^{2} e^{x z}\big)=-3 z^{2} e^{x z}\cdot 2 y=-6 y z^{2} e^{x z}.
Logo
w_{x x y}=36 x^{2} y^{2} z - 6 y z^{2} e^{x z}.

Passo 7

Calcular w_{x y x} via w_x \to w_{xy} \to w_{xyx}.
Já temos w_x. Derivando w_x em relação a y:
Derivada de 4 x^{3} y^{3} z em y:
\frac{\partial}{\partial y}\big(4 x^{3} y^{3} z\big)=4 x^{3} z\cdot 3 y^{2}=12 x^{3} y^{2} z.
Derivada de -3 y^{2} z e^{x z} em y:
\frac{\partial}{\partial y}\big(-3 y^{2} z e^{x z}\big)=-3 z e^{x z}\cdot 2 y=-6 y z e^{x z}.
Assim
w_{xy}=12 x^{3} y^{2} z - 6 y z e^{x z}.
Agora derivar w_{xy} em x:
Derivada de 12 x^{3} y^{2} z em x:
\frac{\partial}{\partial x}\big(12 x^{3} y^{2} z\big)=36 x^{2} y^{2} z.
Derivada de -6 y z e^{x z} em x (cadeia; -6 y z é constante multiplicativo):
\frac{\partial}{\partial x}\big(-6 y z e^{x z}\big)=-6 y z\cdot z e^{x z}=-6 y z^{2} e^{x z}.
Portanto
w_{x y x}=36 x^{2} y^{2} z - 6 y z^{2} e^{x z}.

Passo 8

Calcular w_{y x x} via w_y \to w_{yx} \to w_{yxx}.
Derivar w em y:
Derivada de x^{4} y^{3} z em y:
\frac{\partial}{\partial y}\big(x^{4} y^{3} z\big)=x^{4} z\cdot 3 y^{2}=3 x^{4} y^{2} z.
Derivada de -3 y^{2} e^{x z} em y:
\frac{\partial}{\partial y}\big(-3 y^{2} e^{x z}\big)=-3 e^{x z}\cdot 2 y=-6 y e^{x z}.
Logo
w_y = 3 x^{4} y^{2} z - 6 y e^{x z}.
Agora derivar w_y em x para obter w_{yx}:
Derivada de 3 x^{4} y^{2} z em x:
\frac{\partial}{\partial x}\big(3 x^{4} y^{2} z\big)=12 x^{3} y^{2} z.
Derivada de -6 y e^{x z} em x:
\frac{\partial}{\partial x}\big(-6 y e^{x z}\big)=-6 y\cdot z e^{x z}=-6 y z e^{x z}.
Portanto
w_{yx}=12 x^{3} y^{2} z - 6 y z e^{x z}.
Finalmente, derivar w_{yx} em x para obter w_{yxx}:
Derivada de 12 x^{3} y^{2} z em x:
\frac{\partial}{\partial x}\big(12 x^{3} y^{2} z\big)=36 x^{2} y^{2} z.
Derivada de -6 y z e^{x z} em x:
\frac{\partial}{\partial x}\big(-6 y z e^{x z}\big)=-6 y z^{2} e^{x z}.
Logo
w_{y x x}=36 x^{2} y^{2} z - 6 y z^{2} e^{x z}.

Passo 9

Comparando os resultados obtidos:
w_{x x y}=36 x^{2} y^{2} z - 6 y z^{2} e^{x z},
w_{x y x}=36 x^{2} y^{2} z - 6 y z^{2} e^{x z},
w_{y x x}=36 x^{2} y^{2} z - 6 y z^{2} e^{x z}.
Portanto todas as três derivadas coincidem, como pedido. (Isto também está de acordo com o teorema de Clairaut quando as derivadas parciais suficientes são contínuas, o que ocorre aqui porque w é combinação polinomial e exponencial suave.)

Resposta

w_{x x y}=w_{x y x}=w_{y x x}=36 x^{2} y^{2} z - 6 y z^{2} e^{x z}

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