Uma rádio de notícias anunciou que, em um dia de cobertura política, tocou 300 músicas, das quais 75 eram músicas gospel. Determine o intervalo de confiança de 95 \% para a proporção de músicas gospel normalmente programadas por essa rádio ao longo do dia.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados (sem ambiguidade):
  • Número total de músicas observadas no dia: n=300.
  • Número de músicas gospel observadas: X=75.
    O que se pede:
  • Determinar o intervalo de confiança de 95\% para a proporção verdadeira p de músicas gospel normalmente programadas pela rádio.

Passo 2

Definir o estimador amostral da proporção e calculá‑lo:
  • A estimativa pontual para p é a proporção amostral \hat p=\dfrac{X}{n}.
  • Substituindo os valores dados:
\hat p=\dfrac{75}{300}=0,25.
Explicação: \hat p é a fração da amostra que é gospel; usamos essa fração como melhor palpite para a proporção verdadeira p.

Passo 3

Verificar se podemos usar a aproximação normal (condição prática para o intervalo clássico):
  • Requisito prático: n\hat p\ge 5 e n(1-\hat p)\ge 5.
  • Calcular:
n\hat p=300\cdot 0,25=75,\qquad n(1-\hat p)=300\cdot 0,75=225.
Como ambos são muito maiores que 5, a aproximação normal é adequada.
Breve ensino: essa verificação garante que a distribuição da proporção amostral \hat p está bem aproximada por uma normal, permitindo usar o intervalo baseado em z.

Passo 4

Escrever a fórmula do intervalo de confiança para proporção (aproximação normal):
\text{IC}_{1-\alpha}\!: \quad \hat p \pm z_{1-\alpha/2}\cdot \text{SE}(\hat p),
onde
\text{SE}(\hat p)=\sqrt{\dfrac{\hat p(1-\hat p)}{n}}
é o erro padrão da proporção e z_{1-\alpha/2} é o quantil da normal padrão correspondente ao nível de confiança.
Explicação das letras:
  • \hat p: proporção amostral (estimador de p).
  • \text{SE}(\hat p): desvio padrão do estimador \hat p.
  • z_{1-\alpha/2}: número que corta a cauda superior de área \alpha/2 numa normal padrão; para 95\% de confiança, \alpha=0,05.

Passo 5

Calcular o erro padrão com os números da amostra:
\text{SE}(\hat p)=\sqrt{\dfrac{0,25\cdot(1-0,25)}{300}}=\sqrt{\dfrac{0,25\cdot 0,75}{300}}=\sqrt{\dfrac{0,1875}{300}}=\sqrt{0,000625}=0,025.
Comentário didático: o erro padrão diminui com n e é maior quando \hat p está perto de 0{,}5; aqui deu 0,025.

Passo 6

Escolher o valor crítico z para 95\% de confiança:
  • Para 95\% temos z_{0,975}=1,96 (valor padrão da tabela da normal).
    Calcular a margem de erro:
\text{ME}=1,96\cdot 0,025=0,049.

Passo 7

Construir o intervalo de confiança somando/subtraindo a margem de erro:
\text{limite inferior}=\hat p-\text{ME}=0,25-0,049=0,201,
\text{limite superior}=\hat p+\text{ME}=0,25+0,049=0,299.
Interpretação didática: com 95\% de confiança, um procedimento repetido de amostragem geraria intervalos que contêm a verdadeira proporção p em 95\% dos casos. Aqui estimamos que p esteja entre 0,201 e 0,299.

Resposta

\,0,201 \le p \le 0,299
20,1\%\le p \le 29,9\%

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