Uma rádio de notícias anunciou que, em um dia de cobertura política, tocou 300 músicas, das quais 75 eram músicas gospel. Determine o intervalo de confiança de
para a proporção de músicas gospel normalmente programadas por essa rádio ao longo do dia.
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados (sem ambiguidade):
- Número total de músicas observadas no dia:
. - Número de músicas gospel observadas:
.
O que se pede: - Determinar o intervalo de confiança de
para a proporção verdadeira de músicas gospel normalmente programadas pela rádio.
Passo 2
Definir o estimador amostral da proporção e calculá‑lo:
- A estimativa pontual para
é a proporção amostral . - Substituindo os valores dados:
Explicação:
é a fração da amostra que é gospel; usamos essa fração como melhor palpite para a proporção verdadeira
.
Passo 3
Verificar se podemos usar a aproximação normal (condição prática para o intervalo clássico):
- Requisito prático:
e . - Calcular:
Como ambos são muito maiores que
, a aproximação normal é adequada.
Breve ensino: essa verificação garante que a distribuição da proporção amostral está bem aproximada por uma normal, permitindo usar o intervalo baseado em
.
Breve ensino: essa verificação garante que a distribuição da proporção amostral
Passo 4
Escrever a fórmula do intervalo de confiança para proporção (aproximação normal):
onde
é o erro padrão da proporção e
é o quantil da normal padrão correspondente ao nível de confiança.
Explicação das letras:
Explicação das letras:
-
: proporção amostral (estimador de ). -
: desvio padrão do estimador . -
: número que corta a cauda superior de área numa normal padrão; para de confiança, .
Passo 5
Calcular o erro padrão com os números da amostra:
Comentário didático: o erro padrão diminui com
e é maior quando
está perto de
; aqui deu
.
Passo 6
Escolher o valor crítico
para
de confiança:
- Para
temos (valor padrão da tabela da normal).
Calcular a margem de erro:
Passo 7
Construir o intervalo de confiança somando/subtraindo a margem de erro:
Interpretação didática: com
de confiança, um procedimento repetido de amostragem geraria intervalos que contêm a verdadeira proporção
em
dos casos. Aqui estimamos que
esteja entre
e
.