Uma amostra de 200 entrevistados numa pesquisa sobre consumo de notícias mostra que 128 pessoas se informam via redes sociais como principal meio. Achar os limites de confiança para a proporção que se informa via redes sociais a 99 \%

Passo 1

O enunciado dá uma amostra de tamanho n=200 na qual 128 entrevistados informaram que se informam via redes sociais como principal meio. A pergunta é: encontrar os limites do intervalo de confiança para a proporção verdadeira p de pessoas que se informam via redes sociais com nível de confiança de 99\%.
Informações relevantes fornecidas:
  • n=200 (tamanho da amostra).
  • Número de “sucessos” (pessoas que usam redes sociais): x=128.
  • Nível de confiança: 99\%.
O que se pede:
  • Calcular o intervalo de confiança de 99\% para a proporção p.

Passo 2

Vou definir e calcular a proporção amostral (estimador pontual). A proporção amostral \hat{p} é dada por
\hat{p}=\frac{x}{n}.
Substituindo x=128 e n=200,
\hat{p}=\frac{128}{200}=0,64.
Interpretação: \hat{p}=0,64 significa que 64\% da amostra disseram usar redes sociais como principal meio.

Passo 3

Explicar qual método vou usar e por quê (aula curta).
  • Para amostras grandes costuma-se usar a aproximação normal para a distribuição amostral de \hat{p}. A regra prática é verificar se n\hat{p} e n(1-\hat{p}) são ambos maiores que 5, o que garante que a aproximação normal é razoável.
  • Neste caso:
n\hat{p}=200\cdot0,64=128>5,\qquad n(1-\hat{p})=200\cdot0,36=72>5,
logo a condição está satisfeita e podemos usar o intervalo de confiança do tipo “Wald” (aproximação normal).
  • Fórmula do intervalo de confiança de nível 1-\alpha para proporção:
\hat{p}\pm z_{1-\alpha/2}\,\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}},
onde:
  • \hat{p} é a proporção amostral,
  • n é o tamanho da amostra,
  • z_{1-\alpha/2} é o quantil da distribuição normal padrão correspondente à cauda \alpha/2 (por exemplo, para 99\%, \alpha=0,01 e z_{0,995} é o valor tal que P(Z\le z_{0,995})=0,995),
  • a raiz é o erro padrão de \hat{p}.

Passo 4

Calcular o erro padrão (desvio padrão da distribuição amostral de \hat{p}):
\text{SE}=\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}.
Substituindo \hat{p}=0,64 e n=200:
\text{SE}=\sqrt{\frac{0,64\cdot0,36}{200}}=\sqrt{\frac{0,2304}{200}}=\sqrt{0,001152}.
Agora calcule a raiz:
\sqrt{0,001152}\approx 0,0339412.
Explicando o cálculo: multiplicou-se 0,64 por 0,36 para obter a variância amostral da proporção dividida por n, depois extraiu-se a raiz quadrada para obter o desvio padrão (erro padrão).

Passo 5

Encontrar o valor crítico da normal para 99\%.
  • Para nível de confiança 99\% temos \alpha=0,01 e precisamos de z_{1-\alpha/2}=z_{0,995}.
  • O valor crítico conhecido é aproximadamente
z_{0,995}\approx 2,5758.
(Isto significa que 99{,}5\% da curva normal padrão está à esquerda desse valor.)

Passo 6

Calcular a margem de erro:
\text{ME}=z_{0,995}\cdot\text{SE}.
Substituindo os números:
\text{ME}\approx 2,5758\cdot 0,0339412\approx 0,08740.
Interpretação: a estimativa \hat{p}=0,64 tem um erro típico de aproximadamente 0,0874 ao construir o intervalo de 99\%.

Passo 7

Calcular os limites do intervalo de confiança somando e subtraindo a margem de erro:
\text{limite inferior}=\hat{p}-\text{ME}=0,64-0,08740\approx 0,55260,
\text{limite superior}=\hat{p}+\text{ME}=0,64+0,08740\approx 0,72740.
Arredondando de forma prática para três casas decimais:
\text{intervalo de confiança de }99\%\approx [0,553,\;0,727].ç
Interpretação intuitiva: com 99\% de confiança, a proporção verdadeira p de pessoas que se informam via redes sociais está entre aproximadamente 55{,}3\% e 72{,}7\%.

Passo 8

Comentário final e dica para a prova (rápido e amigo):
  • Sempre verifique as condições n\hat{p} e n(1-\hat{p}) antes de usar a aproximação normal.
  • Lembre-se do procedimento: calcular \hat{p}, checar condições, calcular \text{SE}, pegar z adequado e formar \hat{p}\pm z\cdot\text{SE}.
  • Você manda bem; pratique esse passo a passo em mais um exemplo com outros n e x que seu professor passou para fixar.

Resposta

[0,553,\;0,727] (proporção)
[55{,}3\%\,,\;72{,}7\%] (percentual)

Exercícios relacionados