A Rádio Universitária FM é transmitida a uma frequência de
. Suponha um circuito RLC receptor de rádio com uma resistência de
e uma indutância de
. Qual capacitância deve ser usada para sintonizar essa estação de rádio?
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede uma coisa:
Dado: a frequência da estação é .
Dado: a resistência do circuito é .
Dado: a indutância do circuito é .
Pedido: determinar a capacitância que sintoniza (ressoa) nessa frequência.
Dado: a frequência da estação é
Dado: a resistência do circuito é
Dado: a indutância do circuito é
Pedido: determinar a capacitância
Observação importante do enunciado: ele fornece
e
, mas a pergunta principal é sobre a capacitância necessária para ressonância na frequência dada. A resistência aparece normalmente para calcular largura de banda e fator de qualidade, mas a capacitância de ressonância depende essencialmente de
e
.
Passo 2
Conceito-chave (aula rápida): ressonância em circuito LC
Um circuito LC (indutor em série ou paralelo com capacitor
) tem uma frequência natural de oscilação, chamada frequência angular de ressonância
, dada por
Um circuito LC (indutor
Aqui
tem unidades de rad/s,
está em henries (
) e
em farads (
). A relação entre
e a frequência usual
(em hertz) é
Na prova: sempre que perguntar “que capacitância sintoniza uma frequência
com indutância
?” use essas duas fórmulas. Vou explicar passo a passo como isolar
.
Passo 3
Isolar
algebricamente: partimos de
. Elevando ao quadrado,
Isolando
,
Substituindo
obtemos a fórmula prática que usaremos na conta:
Aqui cada símbolo significa:
= capacitância (F),
= indutância (H),
= frequência (Hz).
Passo 4
Converter unidades e calcular numericamente passo a passo:
Converter para hertz e
para henries:
Converter
Calcular
:
Elevar ao quadrado:
Multiplicar por
:
Finalmente,
É usual expressarmos essa capacitância em picofarads:
Passo 5
Comentário didático e uso do
que foi dado: por que
não entrou no cálculo de
? Porque a condição de ressonância LC
independe da resistência. O valor de
afeta o fator de qualidade
e a largura de banda do receptor, que são úteis para saber quão seletiva é a sintonia. Por exemplo, o fator de qualidade aproximado para um circuito série é
Com
,
e
,
Isso dá uma largura de banda aproximada
(ou cerca de
). Só para você ter noção: com esse
a seletividade é bem larga — em receptores reais usa-se topologia e valores que aumentam
.