A Rádio Universitária FM é transmitida a uma frequência de 88,9 \mathrm{MHz}. Suponha um circuito RLC receptor de rádio com uma resistência de 20,0 \Omega e uma indutância de 1,00 \mu \mathrm{H}. Qual capacitância deve ser usada para sintonizar essa estação de rádio?

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede uma coisa:
Dado: a frequência da estação é f=88,9\\ \mathrm{MHz}.
Dado: a resistência do circuito é R=20{,}0\\ \Omega.
Dado: a indutância do circuito é L=1{,}00\\ \mu\mathrm{H}.
Pedido: determinar a capacitância C que sintoniza (ressoa) nessa frequência.
Observação importante do enunciado: ele fornece R e L, mas a pergunta principal é sobre a capacitância necessária para ressonância na frequência dada. A resistência aparece normalmente para calcular largura de banda e fator de qualidade, mas a capacitância de ressonância depende essencialmente de L e f.

Passo 2

Conceito-chave (aula rápida): ressonância em circuito LC
Um circuito LC (indutor L em série ou paralelo com capacitor C) tem uma frequência natural de oscilação, chamada frequência angular de ressonância \omega_0, dada por
\omega_0=\frac{1}{\sqrt{L\,C}}.
Aqui \omega_0 tem unidades de rad/s, L está em henries ( \mathrm{H}) e C em farads ( \mathrm{F}). A relação entre \omega_0 e a frequência usual f (em hertz) é
\omega_0=2\pi f.
Na prova: sempre que perguntar “que capacitância sintoniza uma frequência f com indutância L?” use essas duas fórmulas. Vou explicar passo a passo como isolar C.

Passo 3

Isolar C algebricamente: partimos de \omega_0=1/\sqrt{L\,C}. Elevando ao quadrado,
\omega_0^2=\frac{1}{L\,C}.
Isolando C,
C=\frac{1}{L\,\omega_0^2}.
Substituindo \omega_0=2\pi f obtemos a fórmula prática que usaremos na conta:
C=\frac{1}{L\,(2\pi f)^2}.
Aqui cada símbolo significa: C = capacitância (F), L = indutância (H), f = frequência (Hz).

Passo 4

Converter unidades e calcular numericamente passo a passo:
Converter f para hertz e L para henries:
f=88{,}9\\ \mathrm{MHz}=88{,}9\times 10^{6}\\ \mathrm{Hz},
L=1{,}00\\ \mu\mathrm{H}=1{,}00\times 10^{-6}\\ \mathrm{H}.
Calcular 2\pi f:
2\pi f = 2\pi\,(88{,}9\times10^{6}) \approx 5{,}58575\times10^{8}\\ \mathrm{rad/s}.
Elevar ao quadrado:
(2\pi f)^2 \approx (5{,}58575\times10^{8})^2 \approx 3{,}12007\times10^{17}\\ \mathrm{s^{-2}}.
Multiplicar por L:
L\,(2\pi f)^2 \approx 1{,}00\times10^{-6}\times 3{,}12007\times10^{17}=3{,}12007\times10^{11}.
Finalmente,
C=\frac{1}{L\,(2\pi f)^2}\approx \frac{1}{3{,}12007\times10^{11}}\approx 3{,}2049\times10^{-12}\\ \mathrm{F}.
É usual expressarmos essa capacitância em picofarads:
C\approx 3{,}20\\ \mathrm{pF}.

Passo 5

Comentário didático e uso do R que foi dado: por que R não entrou no cálculo de C? Porque a condição de ressonância LC \omega_0=1/\sqrt{LC} independe da resistência. O valor de R afeta o fator de qualidade Q e a largura de banda do receptor, que são úteis para saber quão seletiva é a sintonia. Por exemplo, o fator de qualidade aproximado para um circuito série é
Q=\frac{\omega_0 L}{R}.
Com \omega_0\approx 5{,}58575\times10^{8}\\ \mathrm{rad/s}, L=1{,}00\times10^{-6}\\ \mathrm{H} e R=20{,}0\\ \Omega,
Q\approx \frac{5{,}58575\times10^{8}\times 1{,}00\times10^{-6}}{20{,}0}\approx 27{,}9.
Isso dá uma largura de banda aproximada \Delta f=f/Q\approx 88{,}9\times10^{6}/27{,}9\approx 3{,}18\times10^{6}\\ \mathrm{Hz} (ou cerca de 3{,}2\\ \mathrm{MHz}). Só para você ter noção: com esse R a seletividade é bem larga — em receptores reais usa-se topologia e valores que aumentam Q.

Resposta

C\approx 3{,}20\\ \mathrm{pF}

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