Um rádio FM utiliza um circuito RLC em série para sintonizar estações. Sabendo que a capacitância do circuito é de 1,5 n F e a resistência de 10^{-2} \Omega, qual deveria ser a indutância no circuito para sintonizar uma estação com frequência f_{1}=105,1 M H z ? E uma segunda rádio com frequência f_{2}=92,5 \mathrm{MHz} ?
Sabendo que o fator de qualidade do rádio é dado por Q=\omega_{0} / \gamma, onde \omega_{0} e \gamma são dados em analogia a um oscilador harmônico amortecido, o rádio seleciona com mais qualidade estações com frequência maior ou menor?

Passo 1

O enunciado descreve um circuito RLC série usado em rádio FM, com capacitância C = 1{,}5\:\mathrm{nF} e resistência R = 10^{-2}\:\Omega. Pede-se a indutância L para que a ressonância ocorra em duas frequências, f_{1} = 105{,}1\:\mathrm{MHz} e f_{2} = 92{,}5\:\mathrm{MHz}. Em seguida pergunta-se em qual faixa de frequência o fator de qualidade
Q = \frac{\omega_{0}}{\gamma}
é maior, sabendo-se que, análogo a um oscilador amortecido, \omega_{0} = 1/\sqrt{LC} e \gamma = R/L.

Passo 2

Usamos a condição de ressonância do RLC série, que diz \omega_{0} = 1/\sqrt{LC} com \omega_{0} = 2\pi f. Logo,
L = \frac{1}{C\,(2\pi f)^{2}}.

Passo 3

Calculando para f_{1}=105{,}1\:\mathrm{MHz}:
L_{1} = \frac{1}{\bigl(1{,}5\times10^{-9}\bigr)\,\bigl(2\pi\times105{,}1\times10^{6}\bigr)^{2}} \approx 1{,}53\times10^{-9}\:\mathrm{H} = 1{,}53\:\mathrm{nH}.

Passo 4

Calculando para f_{2}=92{,}5\:\mathrm{MHz}:
L_{2} = \frac{1}{\bigl(1{,}5\times10^{-9}\bigr)\,\bigl(2\pi\times92{,}5\times10^{6}\bigr)^{2}} \approx 1{,}97\times10^{-9}\:\mathrm{H} = 1{,}97\:\mathrm{nH}.

Passo 5

Para o RLC série, \gamma = R/L e \omega_{0} = 1/\sqrt{LC}, então
Q = \frac{\omega_{0}}{\gamma} = \frac{1/\sqrt{LC}}{R/L} = \frac{L}{R\,\sqrt{LC}} = \frac{1}{R}\,\sqrt{\frac{L}{C}}.
Como L = 1/(C(2\pi f)^{2}), segue que
Q = \frac{1}{R}\,\frac{1}{2\pi f\,C},
isto é, Q é inversamente proporcional à frequência f. Portanto, estações com frequência menor terão Q maior, ou seja, são selecionadas com mais qualidade.

Resposta

Para f_{1}=105{,}1\:\mathrm{MHz}, L_{1}\approx1{,}53\:\mathrm{nH}.
Para f_{2}=92{,}5\:\mathrm{MHz}, L_{2}\approx1{,}97\:\mathrm{nH}.
O fator de qualidade Q é maior em frequências menores, logo o rádio seleciona com mais qualidade estações de frequência menor.

Exercícios relacionados