Um capacitor de placas paralelas de área 5 \mathrm{~cm}^{2} cada e distância de 1 mm está sob uma tensão alternada que obedece a função V(t)=200 \sin (250 t) V. Encontre a expressão para a corrente de deslocamento entre as placas.

Passo 1

O enunciado envolve um capacitor de placas paralelas com área de cada placa A=5{,}0\;\mathrm{cm}^2 e distância entre elas d=1{,}0\;\mathrm{mm}, submetido à tensão alternada
V(t)=200\sin\bigl(250\,t\bigr)\;\mathrm{V}.
Queremos a corrente de deslocamento i_d(t). Para isso vamos usar o conceito de capacitância e o fato de que
i_d(t)=\frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t} \quad\text{e}\quad q=C\,V(t)\;\;\Longrightarrow\;\; i_d(t)=C\,\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t}.

Passo 2

Calcular a capacitância C do capacitor de placas paralelas, adotando vácuo (permissividade \epsilon_0):
C = \frac{\epsilon_0\,A}{d}.
Aqui \epsilon_0=8{,}85\times10^{-12}\;\mathrm{F/m}, A=5{,}0\;\mathrm{cm}^2=5{,}0\times10^{-4}\;\mathrm{m}^2 e d=1{,}0\;\mathrm{mm}=1{,}0\times10^{-3}\;\mathrm{m}. Logo,
C = 8{,}85\times10^{-12}\,\frac{5{,}0\times10^{-4}}{1{,}0\times10^{-3}} =4{,}425\times10^{-12}\;\mathrm{F}.

Passo 3

Calcular a derivada da tensão:
\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t} =\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\bigl[200\sin(250\,t)\bigr] =200\cdot250\;\cos(250\,t) =5,00\times10^{4}\cos(250\,t)\;\mathrm{V/s}.

Passo 4

Multiplicar C pela derivada de V para obter i_d(t):
i_d(t) =C\,\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t} =4{,}425\times10^{-12}\times5,00\times10^{4}\cos(250\,t) =2{,}21\times10^{-7}\cos(250\,t)\;\mathrm{A}.

Resposta

i_d(t)=2{,}21\times10^{-7}\cos\bigl(250\,t\bigr)\;\mathrm{A}.

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