O comprimento, a largura e a altura de uma caixa retangular são medidos com um erro de no máximo 5 \%. Use uma diferencial total para estimar o erro percentual máximo que resulta se essas quantidades forem usadas para calcular a diagonal da caixa.

Passo 1

O enunciado dá que o comprimento, a largura e a altura de uma caixa retangular são medidas com um erro de no máximo 5\%. Pede-se estimar, por meio da diferencial total, o erro percentual máximo que ocorre ao calcular a diagonal da caixa usando essas medidas. Informações relevantes: os três comprimentos têm erro relativo máximo de 5\%; a diagonal da caixa é calculada a partir desses três comprimentos. A resolução começa a partir daqui.

Passo 2

Vamos definir variáveis e a função que nos interessa. Seja x o comprimento, y a largura e z a altura medidos. A diagonal d da caixa (a partir do teorema de Pitágoras em 3D) é
d=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}.
Queremos estimar o erro percentual em d quando x,y,z têm pequenos erros \mathrm{d}x,\mathrm{d}y,\mathrm{d}z.

Passo 3

Explicando o conceito que vamos usar: a diferencial total dá uma aproximação linear de quanto a função d(x,y,z) muda quando as variáveis mudam um pouco. Para uma função d(x,y,z),
\mathrm{d}d \approx \frac{\partial d}{\partial x}\mathrm{d}x+\frac{\partial d}{\partial y}\mathrm{d}y+\frac{\partial d}{\partial z}\mathrm{d}z.
Aqui \mathrm{d}x,\mathrm{d}y,\mathrm{d}z são os erros absolutos nas medidas de x,y,z. A razão \dfrac{\mathrm{d}d}{d} aproxima o erro relativo (percentual) em d.

Passo 4

Calculamos as derivadas parciais de d. Como
d=(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{1/2},
temos
\frac{\partial d}{\partial x}=\frac{x}{d},\qquad \frac{\partial d}{\partial y}=\frac{y}{d},\qquad \frac{\partial d}{\partial z}=\frac{z}{d}.
Substituindo na diferencial total:
\mathrm{d}d \approx \frac{x}{d}\mathrm{d}x+\frac{y}{d}\mathrm{d}y+\frac{z}{d}\mathrm{d}z.
Dividindo ambos os lados por d obtemos a aproximação para o erro relativo em d:
\frac{\mathrm{d}d}{d}\approx \frac{x\mathrm{d}x+y\mathrm{d}y+z\mathrm{d}z}{d^{2}}.

Passo 5

Agora usamos a informação do enunciado sobre os erros máximos em x,y,z. Um erro percentual máximo de 5\% significa que, em valor absoluto,
|\mathrm{d}x|\le 0{,}05\,x,\qquad |\mathrm{d}y|\le 0{,}05\,y,\qquad |\mathrm{d}z|\le 0{,}05\,z.
Queremos um limite superior para \left|\dfrac{\mathrm{d}d}{d}\right|. Usando desigualdade triangular:
\left|\frac{\mathrm{d}d}{d}\right| \le \frac{|x||\mathrm{d}x|+|y||\mathrm{d}y|+|z||\mathrm{d}z|}{d^{2}}.

Passo 6

Substituindo os limites dos |\mathrm{d}x|,|\mathrm{d}y|,|\mathrm{d}z| na desigualdade:
\left|\frac{\mathrm{d}d}{d}\right| \le \frac{x(0{,}05x)+y(0{,}05y)+z(0{,}05z)}{d^{2}} =0{,}05\frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{d^{2}}.
Mas x^{2}+y^{2}+z^{2}=d^{2} pela definição de d. Logo
\left|\frac{\mathrm{d}d}{d}\right|\le 0{,}05\frac{d^{2}}{d^{2}}=0{,}05.

Passo 7

Interpretação: \left|\dfrac{\mathrm{d}d}{d}\right|\le 0{,}05 significa que o erro relativo máximo na diagonal é 5\%. É possível alcançar (ou aproximar) essa cota escolhendo os sinais dos erros \mathrm{d}x,\mathrm{d}y,\mathrm{d}z todos com o mesmo sinal relativo às variáveis, de modo a somarem (por exemplo, todos positivos), então a desigualdade é atingida na aproximação linear.

Resposta

5\%

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