O comprimento, a largura e a altura de uma caixa retangular são medidos com um erro de no máximo 5 \%. Use uma diferencial total para estimar o erro percentual máximo que resulta se essas quantidades forem usadas para calcular a diagonal da caixa.
Passo 1
O enunciado dá que o comprimento, a largura e a altura de uma caixa retangular são medidas com um erro de no máximo 5\%. Pede-se estimar, por meio da diferencial total, o erro percentual máximo que ocorre ao calcular a diagonal da caixa usando essas medidas. Informações relevantes: os três comprimentos têm erro relativo máximo de 5\%; a diagonal da caixa é calculada a partir desses três comprimentos. A resolução começa a partir daqui.
Passo 2
Vamos definir variáveis e a função que nos interessa. Seja x o comprimento, y a largura e z a altura medidos. A diagonal d da caixa (a partir do teorema de Pitágoras em 3D) é
d=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}.
Queremos estimar o erro percentual em d quando x,y,z têm pequenos erros \mathrm{d}x,\mathrm{d}y,\mathrm{d}z.
Passo 3
Explicando o conceito que vamos usar: a diferencial total dá uma aproximação linear de quanto a função d(x,y,z) muda quando as variáveis mudam um pouco. Para uma função d(x,y,z),
Aqui \mathrm{d}x,\mathrm{d}y,\mathrm{d}z são os erros absolutos nas medidas de x,y,z. A razão \dfrac{\mathrm{d}d}{d} aproxima o erro relativo (percentual) em d.
Interpretação: \left|\dfrac{\mathrm{d}d}{d}\right|\le 0{,}05 significa que o erro relativo máximo na diagonal é 5\%. É possível alcançar (ou aproximar) essa cota escolhendo os sinais dos erros \mathrm{d}x,\mathrm{d}y,\mathrm{d}z todos com o mesmo sinal relativo às variáveis, de modo a somarem (por exemplo, todos positivos), então a desigualdade é atingida na aproximação linear.