0 raio do átomo de hidrogênio ( n=1 ) é de 52,9 pm. Considere a tentativa de determinar a incerteza sobre a velocidade do elétron nessa órbita partindo do pressuposto de que a incerteza da posição seria igual à a) um quarto do raio atômico e b) igual ao comprimento de onda associado à sua velocidade nessa órbita.

Passo 1

O enunciado dá o raio de Bohr (órbita n=1) como
a0 = 52,9;pm = 5,29times10^-11;m
e pede a incerteza na velocidade De<a v do elétron usando o princípio de incerteza de Heisenberg
De<a x,De<a p >= hbar2,
sabendo que De<a p = m,De<a v. Logo em ambos os casos teremos
De<a v >= hbar2,m,De<a x

Passo 2

Caso (a): supondo
De<a x = a04 = 5,29times10^-114 = 1,3225times10^-11;m,
substituímos em
De<a v >= hbar2,m,De<a x
com hbar = 1,055times10^-34;J,s e m = 9,11times10^-31;kg. Assim,
De<a v >= 1,055times10^-342,(9,11times10^-31)(1,3225times10^-11) approx 4,4times10^6;m/s

Passo 3

Caso (b): primeiro precisamos do comprimento de onda de Broglie associado à velocidade orbital do elétron. Na órbita n=1 do modelo de Bohr
v = alpha,c approx 2,19times10^6;m/s,
onde alpha é a constante de estrutura fina e c a velocidade da luz. O comprimento de onda é
lambda = hm,v = 6,626times10^-34(9,11times10^-31)(2,19times10^6) approx 3,32times10^-10;m

Passo 4

Agora em (b) tomamos
De<a x = lambda = 3,32times10^-10;m
e de novo
De<a v >= hbar2,m,lambda = 1,055times10^-342,(9,11times10^-31)(3,32times10^-10) approx 1,7times10^5;m/s

Resposta

a) De<a v approx 4,4times10^6;m/s
b) De<a v approx 1,7times10^5;m/s

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