Raio crítico de isolamento é o raio da superfície externa da camada de isolante correspondente a espessura que maximiza o fluxo de calor e de forma que
, resultando em:
. Com o exposto, um duto cilíndrico com raio externo
com sua superfície à temperatura
, constante, cede calor para o ar ambiente, que mantem temperatura
, constante, com coeficiente de transferência de calor por convecção
. Para reduzir a perda de calor, reveste-se o duto com uma camada cilíndrica de isolante com condutividade térmica
. Considerando um contato térmico perfeito entre o duto e o isolante, determine:
a. Raio crítico de isolamento.
b. Fluxo de calor perdido para o ambiente, por comprimento unitário do duto para os casos de:
b1. Duto sem isolamento.
.
b2. Duto revestido com uma camada isolante com raio externo igual ao raio crítico
.
b3. Duto revestido com uma camada isolante com raio externo
.
.
.
a. Raio crítico de isolamento.
b. Fluxo de calor perdido para o ambiente, por comprimento unitário do duto para os casos de:
b1. Duto sem isolamento.
b2. Duto revestido com uma camada isolante com raio externo igual ao raio crítico
b3. Duto revestido com uma camada isolante com raio externo
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados (peguei diretamente do enunciado):
- Raio externo do duto (superfície do metal):
. - Temperatura da superfície do duto:
. - Temperatura do ar ambiente:
. - Coeficiente de convecção:
. - Condutividade térmica do isolante:
. - Contato térmico perfeito entre duto e isolante.
- Perguntas:
a) Determinar o raio crítico de isolamento.
b) Determinar o fluxo de calor perdido por unidade de comprimentopara:
b1) duto sem isolamento (apenas convecção na superfície);
b2) duto com isolante até o raio externo igual ao raio crítico;
b3) duto com isolante até o raio externo.
Passo 2
Princípio e estratégia rápida (fórmulas que usaremos).
- Quando há uma camada isolante cilíndrica e convecção externa, o fluxo por comprimento unitário
é dado por uma queda de temperatura através de resistências térmicas em série (condução radial no isolante + convecção na superfície externa). Em forma compacta:
onde
- Para o duto desnudo (sem isolante) a troca é só por convecção na superfície
:
- O raio crítico
é o valor de que maximiza (ou minimiza a resistência total). Fazendo (ou ) chega-se ao resultado clássico
Vou agora explicar de onde vêm essas fórmulas (passo-a-passo didático) e calcular os números pedindo atenção às unidades.
Passo 3
Derivação da resistência de condução radial no isolante (explicando o que cada símbolo significa).
- Considere condução radial em regime estacionário, por comprimento unitário
. A expressão de Fourier para fluxo radial é
onde
é a área de transferência através de uma superfície cilíndrica de raio
e comprimento
. Para
,
- Reescrevendo,
Integramos de
(temperatura
) até
(temperatura
), obtendo a queda de temperatura por condução:
- Isso é análogo a uma resistência térmica (queda térmica =
resistência). Portanto a resistência de condução por comprimento unitário é
onde
é a condutividade do isolante (unidade
).
Passo 4
Resistência por convecção e expressão total do fluxo.
- A resistência convectiva por comprimento unitário na superfície externa
é definida por
- Resistências em série somam, então a resistência total por comprimento unitário é
- O fluxo por comprimento unitário é
Passo 5
Derivação do raio crítico
.
- Para achar o
que maximiza podemos minimizar em relação a . Calculamos a derivada:
- Igualando a zero:
Multiplicando por
:
- Substituindo os valores
e :
Passo 6
Cálculo do fluxo para o duto sem isolamento (caso b1).
- Fórmula para duto sem isolamento (somente convecção na superfície
):
- Substituindo
, , :
- Avaliando numericamente
:
Passo 7
Cálculo do fluxo com isolante até o raio crítico (caso b2).
- Aqui
. Primeiro calculemos as resistências por comprimento unitário.
Calculemos os termos numericamente:
- Resistência convectiva:
- Resistência total:
- Fluxo por comprimento unitário:
Observação: como
, de fato o fluxo aumenta em relação ao caso sem isolamento (área externa maior domina sobre o efeito do isolamento).
Passo 8
Cálculo do fluxo com isolante até
(caso b3).
- Primeiro calcule
. - Resistência de condução:
Calculemos os termos:
- Resistência convectiva:
- Resistência total:
- Fluxo por comprimento unitário:
Conclusão qualitativa: ao aumentar o isolante além do raio crítico, a resistência de condução cresce e vence o aumento de área externa, reduzindo a perda de calor abaixo do caso sem isolamento.
Resposta
a)
b1)
b2)
b3)