Raio crítico de isolamento é o raio da superfície externa da camada de isolante correspondente a espessura que maximiza o fluxo de calor e de forma que \frac{\boldsymbol{d \dot { Q } \boldsymbol { r }}}{\boldsymbol{d \boldsymbol { r } _ { \boldsymbol { e } }}}{\boldsymbol{\boldsymbol { r } _ { \boldsymbol { e } } ^ { \boldsymbol { \boldsymbol { r } _ { \boldsymbol { e } } } }}}=\mathbf{0}, resultando em: \boldsymbol{r}_{\boldsymbol{e} \boldsymbol{c}}=\frac{\boldsymbol{k}_{\boldsymbol{\text { isolante }}}}{\boldsymbol{h}_{\boldsymbol{\text { converção }}}}çã. Com o exposto, um duto cilíndrico com raio externo \mathrm{R}_{1}=2 \mathrm{~cm} com sua superfície à temperatura \mathrm{T}_{1}=120^{\circ} \mathrm{C}, constante, cede calor para o ar ambiente, que mantem temperatura \mathrm{T}_{\mathrm{a}}=25^{\circ} \mathrm{C}, constante, com coeficiente de transferência de calor por convecção \mathrm{h}= 4 \mathrm{~W} / \mathrm{m} .^{\circ} \mathrm{C}. Para reduzir a perda de calor, reveste-se o duto com uma camada cilíndrica de isolante com condutividade térmica \mathrm{k}_{1}=0,15 \mathrm{~W} / \mathrm{m} .^{\circ} \mathrm{C}. Considerando um contato térmico perfeito entre o duto e o isolante, determine:
a. Raio crítico de isolamento. \boldsymbol{R} . \boldsymbol{r}_{\boldsymbol{e c}}=\mathbf{3 , 8} \boldsymbol{c m}
b. Fluxo de calor perdido para o ambiente, por comprimento unitário do duto para os casos de:
b1. Duto sem isolamento. \boldsymbol{R} . \boldsymbol{Q}_{\boldsymbol{r}} / \boldsymbol{L}=\mathbf{4 7 , 8} \mathbf{W} / \mathbf{m}.
b2. Duto revestido com uma camada isolante com raio externo igual ao raio crítico \mathrm{re}_{\mathrm{c}} \cdot \boldsymbol{R} \cdot \boldsymbol{Q}_{\boldsymbol{r}} / \boldsymbol{L}=55 \mathbf{W} / \boldsymbol{m}.
b3. Duto revestido com uma camada isolante com raio externo \mathrm{r}_{\mathrm{e}}=3. \mathrm{r}_{\text {ec }}. \boldsymbol{R} . \boldsymbol{Q}_{\boldsymbol{r}} / \boldsymbol{L}= \mathbf{4 3 , 2} \mathbf{W} \boldsymbol{/} \boldsymbol{m}.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados (peguei diretamente do enunciado):
  • Raio externo do duto (superfície do metal): R_{1}=2\\ \text{cm}=0,02\\ \mathrm{m}.
  • Temperatura da superfície do duto: T_{1}=120^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura do ar ambiente: T_{a}=25^\circ\mathrm{C}.
  • Coeficiente de convecção: h=4\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}\!.\!^\circ\mathrm{C}.
  • Condutividade térmica do isolante: k=0{,}15\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}\!.\!^\circ\mathrm{C}.
  • Contato térmico perfeito entre duto e isolante.
  • Perguntas:
    a) Determinar o raio crítico de isolamento r_{ec}.
    b) Determinar o fluxo de calor perdido por unidade de comprimento q'=\dot Q/L para:
    b1) duto sem isolamento (apenas convecção na superfície r=R_{1});
    b2) duto com isolante até o raio externo igual ao raio crítico r_{e}=r_{ec};
    b3) duto com isolante até o raio externo r_{e}=3\,r_{ec}.

Passo 2

Princípio e estratégia rápida (fórmulas que usaremos).
  • Quando há uma camada isolante cilíndrica e convecção externa, o fluxo por comprimento unitário q' é dado por uma queda de temperatura através de resistências térmicas em série (condução radial no isolante + convecção na superfície externa). Em forma compacta:
q'=\frac{T_{1}-T_{a}}{R'_{\text{cond}}+R'_{\text{conv}}},
onde
R'_{\text{cond}}=\frac{1}{2\pi k}\ln\!\left(\frac{r_{e}}{R_{1}}\right), \qquad R'_{\text{conv}}=\frac{1}{2\pi r_{e} h}.
  • Para o duto desnudo (sem isolante) a troca é só por convecção na superfície r=R_{1}:
q'_{\text{nu}}=2\pi R_{1}\,h\,(T_{1}-T_{a}).
  • O raio crítico r_{ec} é o valor de r_{e} que maximiza q' (ou minimiza a resistência total). Fazendo d q'/d r_{e}=0 (ou d R'/d r_{e}=0) chega-se ao resultado clássico
r_{ec}=\frac{k}{h}.
Vou agora explicar de onde vêm essas fórmulas (passo-a-passo didático) e calcular os números pedindo atenção às unidades.

Passo 3

Derivação da resistência de condução radial no isolante (explicando o que cada símbolo significa).
  • Considere condução radial em regime estacionário, por comprimento unitário L=1\\ \mathrm{m}. A expressão de Fourier para fluxo radial é
q'=-k\;A_r\;\frac{dT}{dr},
onde A_r é a área de transferência através de uma superfície cilíndrica de raio r e comprimento L. Para L=1,
A_r=2\pi r\cdot 1=2\pi r.
  • Reescrevendo,
\frac{dT}{dr}=-\frac{q'}{2\pi k}\frac{1}{r}.
Integramos de r=R_{1} (temperatura T_1) até r=r_{e} (temperatura T_r), obtendo a queda de temperatura por condução:
T_{1}-T_{r}=\int_{R_{1}}^{r_{e}}\frac{q'}{2\pi k}\frac{1}{r}\,dr =\frac{q'}{2\pi k}\ln\!\left(\frac{r_{e}}{R_{1}}\right).
  • Isso é análogo a uma resistência térmica (queda térmica = q'\times resistência). Portanto a resistência de condução por comprimento unitário é
R'_{\text{cond}}=\frac{1}{2\pi k}\ln\!\left(\frac{r_{e}}{R_{1}}\right),
onde k é a condutividade do isolante (unidade \mathrm{W}/\mathrm{m}\!.\!^\circ\mathrm{C}).

Passo 4

Resistência por convecção e expressão total do fluxo.
  • A resistência convectiva por comprimento unitário na superfície externa r=r_{e} é definida por
R'_{\text{conv}}=\frac{1}{hA_{\text{ext}}}=\frac{1}{h(2\pi r_{e})}=\frac{1}{2\pi r_{e} h}.
  • Resistências em série somam, então a resistência total por comprimento unitário é
R'_{\text{tot}}=R'_{\text{cond}}+R'_{\text{conv}}=\frac{1}{2\pi k}\ln\!\left(\frac{r_{e}}{R_{1}}\right)+\frac{1}{2\pi r_{e} h}.
  • O fluxo por comprimento unitário é
q'(r_{e})=\frac{T_{1}-T_{a}}{R'_{\text{tot}}} =\frac{T_{1}-T_{a}}{\dfrac{1}{2\pi k}\ln\!\left(\dfrac{r_{e}}{R_{1}}\right)+\dfrac{1}{2\pi r_{e} h}}.

Passo 5

Derivação do raio crítico \;r_{ec}=\dfrac{k}{h}.
  • Para achar o r_{e} que maximiza q' podemos minimizar R'_{\text{tot}} em relação a r_{e}. Calculamos a derivada:
\frac{dR'_{\text{tot}}}{dr_{e}} =\frac{d}{dr_{e}}\left[\frac{1}{2\pi k}\ln\!\left(\frac{r_{e}}{R_{1}}\right)+\frac{1}{2\pi r_{e} h}\right] =\frac{1}{2\pi k}\cdot\frac{1}{r_{e}}-\frac{1}{2\pi h}\cdot\frac{1}{r_{e}^{2}}.
  • Igualando a zero:
\frac{1}{2\pi k}\cdot\frac{1}{r_{e}}-\frac{1}{2\pi h}\cdot\frac{1}{r_{e}^{2}}=0.
Multiplicando por 2\pi r_{e}^{2}:
\frac{r_{e}}{k}-\frac{1}{h}=0 \quad\Rightarrow\quad r_{e}=\frac{k}{h}.
  • Substituindo os valores k=0{,}15\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}\!.\!^\circ\mathrm{C} e h=4\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}\!.\!^\circ\mathrm{C}:
r_{ec}=\frac{0{,}15}{4}=0{,}0375\\ \mathrm{m}=3{,}75\\ \mathrm{cm}\approx 3{,}8\\ \mathrm{cm}.

Passo 6

Cálculo do fluxo para o duto sem isolamento (caso b1).
  • Fórmula para duto sem isolamento (somente convecção na superfície r=R_{1}):
q'_{\text{nu}}=2\pi R_{1}\,h\,(T_{1}-T_{a}).
  • Substituindo R_{1}=0{,}02\\ \mathrm{m}, h=4\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}\!.\!^\circ\mathrm{C}, (T_{1}-T_{a})=120-25=95^\circ\mathrm{C}:
q'_{\text{nu}}=2\pi(0{,}02)(4)(95)=2\pi(0{,}08)(95)=2\pi(7{,}6)=15{,}2\pi\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}.
  • Avaliando numericamente \pi\approx3{,}1416:
q'_{\text{nu}}\approx 15{,}2\times 3{,}1416 \approx 47{,}8\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}.

Passo 7

Cálculo do fluxo com isolante até o raio crítico (caso b2).
  • Aqui r_{e}=r_{ec}=0{,}0375\\ \mathrm{m}. Primeiro calculemos as resistências por comprimento unitário.
R'_{\text{cond}}=\frac{1}{2\pi k}\ln\!\left(\frac{r_{e}}{R_{1}}\right) =\frac{1}{2\pi(0{,}15)}\ln\!\left(\frac{0{,}0375}{0{,}02}\right).
Calculemos os termos numericamente:
\ln\!\left(\frac{0{,}0375}{0{,}02}\right)=\ln(1{,}875)\approx 0{,}629682,
\frac{1}{2\pi(0{,}15)}=\frac{1}{0{,}9424778}\approx 1{,}06103295,
R'_{\text{cond}}\approx 1{,}06103295\times 0{,}629682\approx 0{,}6679\\ \mathrm{K}\!/\!\mathrm{W}\\ \text{(por m)}.
  • Resistência convectiva:
R'_{\text{conv}}=\frac{1}{2\pi r_{e} h}=\frac{1}{2\pi(0{,}0375)(4)}=\frac{1}{0{,}9424778}\approx 1{,}0610\\ \mathrm{K}\!/\!\mathrm{W}.
  • Resistência total:
R'_{\text{tot}}\approx 0{,}6679+1{,}0610=1{,}7289\\ \mathrm{K}\!/\!\mathrm{W}.
  • Fluxo por comprimento unitário:
q'=\frac{T_{1}-T_{a}}{R'_{\text{tot}}}=\frac{95}{1{,}7289}\approx 54{,}97\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}\approx 55\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}.
Observação: como r_{e}=r_{ec}, de fato o fluxo aumenta em relação ao caso sem isolamento (área externa maior domina sobre o efeito do isolamento).

Passo 8

Cálculo do fluxo com isolante até r_{e}=3\,r_{ec} (caso b3).
  • Primeiro calcule r_{e}=3r_{ec}=3\times 0{,}0375=0{,}1125\\ \mathrm{m}.
  • Resistência de condução:
R'_{\text{cond}}=\frac{1}{2\pi k}\ln\!\left(\frac{r_{e}}{R_{1}}\right) =\frac{1}{2\pi(0{,}15)}\ln\!\left(\frac{0{,}1125}{0{,}02}\right).
Calculemos os termos:
\ln\!\left(\frac{0{,}1125}{0{,}02}\right)=\ln(5{,}625)\approx 1{,}727213,
\frac{1}{2\pi(0{,}15)}\approx 1{,}06103295,
R'_{\text{cond}}\approx 1{,}06103295\times 1{,}727213\approx 1{,}8324\\ \mathrm{K}\!/\!\mathrm{W}.
  • Resistência convectiva:
R'_{\text{conv}}=\frac{1}{2\pi r_{e} h}=\frac{1}{2\pi(0{,}1125)(4)}=\frac{1}{2\pi(0{,}45)}\approx 0{,}3537\\ \mathrm{K}\!/\!\mathrm{W}.
  • Resistência total:
R'_{\text{tot}}\approx 1{,}8324+0{,}3537=2{,}1861\\ \mathrm{K}\!/\!\mathrm{W}.
  • Fluxo por comprimento unitário:
q'=\frac{95}{2{,}1861}\approx 43{,}47\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}\approx 43{,}5\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}.
Conclusão qualitativa: ao aumentar o isolante além do raio crítico, a resistência de condução cresce e vence o aumento de área externa, reduzindo a perda de calor abaixo do caso sem isolamento.

Resposta

a) r_{ec}=3{,}75\\ \mathrm{cm}\approx 3{,}8\\ \mathrm{cm}
b1) q'_{\text{sem isolamento}}=47{,}8\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}
b2) q'_{r_{e}=r_{ec}}=55\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}
b3) q'_{r_{e}=3r_{ec}}=43{,}5\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}

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