Verifique se as funções são contínuas no ponto P dado.
f(x, y)=cllx x^2-y^2x^2+y^2 ; & (x, y) neq(0.0) 0 ; & (x, y)=(0,0), P=(0,0) ;

Passo 1

O enunciado define
f(x,y)= x,dfracx^2-y^2x^2+y^2,& (x,y)neq(0,0), 0,& (x,y)=(0,0),
e pede para verificar se f é contínua em P=(0,0).
Para isso, devemos calcular
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)
e checar se esse limite é igual a f(0,0)=0.

Passo 2

Para (x,y)neq(0,0) podemos reescrever
f(x,y) =x;x^2-y^2x^2+y^2 =x^3-x,y^2x^2+y^2
Então, tomando valor absoluto,
l|f(x,y)r| =gl|x^3-x,y^2x^2+y^2gr| <=|x|,l|x^2-y^2r|x^2+y^2 <=|x|,(x^2+y^2)x^2+y^2 =|x|

Passo 3

Como (x,y)to(0,0) implica xto0, do encadeamento
0<=l|f(x,y)r|<=|x|xrightarrow,(x,y)to(0,0),0
pela regra do sanduíche, concluímos
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=0
Esse valor coincide com f(0,0), logo f é contínua em P.

Resposta

A função f é contínua no ponto P=(0,0).

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