1 (Sistema de partículas, centro de massa, colisōes - 3,4 pontos)
Uma particula de massa
desliza sem atrito num plano horizontal (
) com velocidade
(onde
e
correspondem aos vetores unitários ao longo dos eixos
e
, respectivamente). Em um certo instante, a particula explode, partindo-se em dois pedaços. O primeiro pedaço, de massa
, move-se entăo com velocidade
. O segundo pedaço, de massa
, move-se com velocidade
.
a) Expresse
em termos dos vetores unitários.
b) Expresse o vetor velocidade do centro de massa após a explosão em termos dos vetores unitários.
c) Calcule a variação de energia mecánica
que ocorreu por causa da explosão. Interprete fisicamente o sinal de
.
Uma particula de massa
a) Expresse
b) Expresse o vetor velocidade do centro de massa após a explosão em termos dos vetores unitários.
c) Calcule a variação de energia mecánica
Passo 1
O enunciado pergunta três coisas e fornece dados. Vou listar tudo com calma para não nos perder.
-
Perguntas:
a) Determinar a velocidade do segundo pedaço,, em termos dos vetores unitários e .
b) Determinar o vetor velocidade do centro de massa após a explosão, em termos dee .
c) Calcular a variação da energia mecânicacausada pela explosão e interpretar o sinal de . -
Dados fornecidos:
(massa total antes da explosão),
(velocidade inicial da partícula; vou chamar também de ),
, ,
, (desconhecida).
Nada mais será assumido além do que está acima.
Passo 2
Princípio usado (explicação didática): em explosões internas, não há forças externas impulsivas agindo instantaneamente sobre o sistema, então o momento linear total é conservado. O momento linear (ou quantidade de movimento) de uma partícula é definido por
. Para o sistema antes e depois da explosão temos a equação vetorial de conservação:
Dessa equação isolamos
:
Explicação prática: como isto é vetorial e o movimento ocorre no plano
, resolvemos componente a componente (componente
e componente
).
Passo 3
Cálculo explícito de
— componente
:
Subtraindo e dividindo por
:
Componente
:
Logo
Portanto, reunindo componentes:
(Resposta da alínea a).)
Passo 4
Velocidade do centro de massa — explicação e cálculo: o vetor velocidade do centro de massa do sistema é dado por
Como o momento total é conservado,
após a explosão deve ser igual à velocidade inicial da partícula (antes da explosão). Vamos calcular explicitamente para confirmar:
Já calculámos
.
Calcule usando o
obtido:
Calcule
Somando:
Dividindo pela massa total
:
Isto confirma que a velocidade do centro de massa após a explosão é
. (Resposta da alínea b).)
Passo 5
Cálculo da variação da energia mecânica
— conceito e fórmula: a energia cinética de uma partícula é
onde
é o quadrado da velocidade (soma dos quadrados das componentes). A variação que nos interessa é
com
Calcule
:
Calcule
:
- Primeiro
.
- Para o segundo pedaço, use
.
Somemos as energias finais:
Agora a variação:
Em forma decimal isso é aproximadamente
Interpretação física do sinal:
(positivo) significa que a energia cinética total aumentou. Isso ocorre porque, durante a explosão, energia interna (química, ligada, etc.) foi transformada em energia cinética das partes — a explosão “liberou” energia que apareceu como aumento da energia cinética relativa das peças. Note que o momento linear total e, portanto, a velocidade do centro de massa permaneceram os mesmos; o ganho de energia é na energia cinética relativa ao centro de massa.