1 (Sistema de partículas, centro de massa, colisōes - 3,4 pontos)
Uma particula de massa m=20,0 \mathrm{~kg} desliza sem atrito num plano horizontal ( \pm y ) com velocidade \vec{\tau}_{0}=(10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}) \vec{i} (onde \vec{i} e \vec{j} correspondem aos vetores unitários ao longo dos eixos x e y, respectivamente). Em um certo instante, a particula explode, partindo-se em dois pedaços. O primeiro pedaço, de massa 8,0 \mathrm{~kg}, move-se entăo com velocidade \vec{v}_{1}=(4,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}) \vec{i}+(4,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}) \vec{j}. O segundo pedaço, de massa 12,0 \mathrm{~kg}, move-se com velocidade \vec{v}_{2}.
a) Expresse \vec{v}_{2} em termos dos vetores unitários.
b) Expresse o vetor velocidade do centro de massa após a explosão em termos dos vetores unitários.
c) Calcule a variação de energia mecánica \Delta E_{\mathrm{im}} que ocorreu por causa da explosão. Interprete fisicamente o sinal de \Delta E_{m}.

Passo 1

O enunciado pergunta três coisas e fornece dados. Vou listar tudo com calma para não nos perder.
  • Perguntas:
    a) Determinar a velocidade do segundo pedaço, \vec{v}_{2}, em termos dos vetores unitários \vec{i} e \vec{j}.
    b) Determinar o vetor velocidade do centro de massa após a explosão, em termos de \vec{i} e \vec{j}.
    c) Calcular a variação da energia mecânica \Delta E_{m} causada pela explosão e interpretar o sinal de \Delta E_{m}.
  • Dados fornecidos:
    \displaystyle m=20,0\,\mathrm{kg} (massa total antes da explosão),
    \displaystyle \vec{\tau}_{0}=(10{,}0\,\mathrm{m/s})\vec{i} (velocidade inicial da partícula; vou chamar também de \vec{v}_{0}),
    \displaystyle m_{1}=8{,}0\,\mathrm{kg}, \displaystyle \vec{v}_{1}=(4{,}0\,\mathrm{m/s})\vec{i}+(4{,}0\,\mathrm{m/s})\vec{j},
    \displaystyle m_{2}=12{,}0\,\mathrm{kg}, \displaystyle \vec{v}_{2} (desconhecida).
Nada mais será assumido além do que está acima.

Passo 2

Princípio usado (explicação didática): em explosões internas, não há forças externas impulsivas agindo instantaneamente sobre o sistema, então o momento linear total é conservado. O momento linear (ou quantidade de movimento) de uma partícula é definido por \vec{p}=m\vec{v}. Para o sistema antes e depois da explosão temos a equação vetorial de conservação:
m\vec{v}_{0}=m_{1}\vec{v}_{1}+m_{2}\vec{v}_{2}.
Dessa equação isolamos \vec{v}_{2}:
\vec{v}_{2}=\frac{m\vec{v}_{0}-m_{1}\vec{v}_{1}}{m_{2}}.
Explicação prática: como isto é vetorial e o movimento ocorre no plano xy, resolvemos componente a componente (componente x e componente y).

Passo 3

Cálculo explícito de \vec{v}_{2} — componente x:
\text{componente }x:\quad m v_{0x}=20{,}0\cdot 10{,}0=200{,}0\;(\mathrm{kg\cdot m/s}),
m_{1}v_{1x}=8{,}0\cdot 4{,}0=32{,}0\;(\mathrm{kg\cdot m/s}).
Subtraindo e dividindo por m_{2}:
v_{2x}=\frac{200{,}0-32{,}0}{12{,}0}=\frac{168{,}0}{12{,}0}=14{,}0\;(\mathrm{m/s}).
Componente y:
\text{componente }y:\quad m v_{0y}=20{,}0\cdot 0{,}0=0{,}0\;(\mathrm{kg\cdot m/s}),
m_{1}v_{1y}=8{,}0\cdot 4{,}0=32{,}0\;(\mathrm{kg\cdot m/s}).
Logo
v_{2y}=\frac{0{,}0-32{,}0}{12{,}0}=\frac{-32{,}0}{12{,}0}=-\frac{8}{3}\;(\mathrm{m/s}).
Portanto, reunindo componentes:
\vec{v}_{2} = 14{,}0\,\mathrm{m/s}\,\vec{i} - \frac{8}{3}\,\mathrm{m/s}\,\vec{j}.
(Resposta da alínea a).)

Passo 4

Velocidade do centro de massa — explicação e cálculo: o vetor velocidade do centro de massa do sistema é dado por
\vec{V}_{\mathrm{cm}}=\frac{m_{1}\vec{v}_{1}+m_{2}\vec{v}_{2}}{m_{1}+m_{2}}.
Como o momento total é conservado, \vec{V}_{\mathrm{cm}} após a explosão deve ser igual à velocidade inicial da partícula (antes da explosão). Vamos calcular explicitamente para confirmar:
Já calculámos m_{1}\vec{v}_{1}=(32{,}0\,\mathrm{kg\cdot m/s})\vec{i}+(32{,}0\,\mathrm{kg\cdot m/s})\vec{j}.
Calcule m_{2}\vec{v}_{2} usando o \vec{v}_{2} obtido:
m_{2}\vec{v}_{2}=12{,}0\big(14{,}0\,\vec{i}-\tfrac{8}{3}\,\vec{j}\big)=(168{,}0\,\mathrm{kg\cdot m/s})\vec{i}-32{,}0\,\mathrm{kg\cdot m/s}\,\vec{j}.
Somando:
m_{1}\vec{v}_{1}+m_{2}\vec{v}_{2}=(32{,}0+168{,}0)\vec{i}+(32{,}0-32{,}0)\vec{j}=(200{,}0\,\mathrm{kg\cdot m/s})\vec{i}+0\vec{j}.
Dividindo pela massa total m_{1}+m_{2}=20{,}0\,\mathrm{kg}:
\vec{V}_{\mathrm{cm}}=\frac{200{,}0}{20{,}0}\,\vec{i}=10{,}0\,\mathrm{m/s}\,\vec{i}.
Isto confirma que a velocidade do centro de massa após a explosão é \displaystyle 10{,}0\,\mathrm{m/s}\,\vec{i}. (Resposta da alínea b).)

Passo 5

Cálculo da variação da energia mecânica \Delta E_{m} — conceito e fórmula: a energia cinética de uma partícula é
K=\tfrac{1}{2}mv^{2},
onde v^{2}=\vec{v}\cdot\vec{v} é o quadrado da velocidade (soma dos quadrados das componentes). A variação que nos interessa é
\Delta E_{m}=E_{\text{final}}-E_{\text{inicial}},
com
E_{\text{inicial}}=\tfrac{1}{2}m v_{0}^{2},\qquad E_{\text{final}}=\tfrac{1}{2}m_{1}v_{1}^{2}+\tfrac{1}{2}m_{2}v_{2}^{2}.
Calcule E_{\text{inicial}}:
E_{\text{inicial}}=\tfrac{1}{2}\cdot 20{,}0\cdot(10{,}0)^{2}=10{,}0\cdot 100{,}0=1000{,}0\;\mathrm{J}.
Calcule E_{\text{final}}:
  • Primeiro v_{1}^{2}=4{,}0^{2}+4{,}0^{2}=16{,}0+16{,}0=32{,}0.
\tfrac{1}{2}m_{1}v_{1}^{2}=\tfrac{1}{2}\cdot 8{,}0\cdot 32{,}0=4{,}0\cdot 32{,}0=128{,}0\;\mathrm{J}.
  • Para o segundo pedaço, use v_{2}^{2}=14{,}0^{2}+\big(-\tfrac{8}{3}\big)^{2}=196{,}0+\tfrac{64}{9}=\tfrac{1828}{9}.
\tfrac{1}{2}m_{2}v_{2}^{2}=\tfrac{1}{2}\cdot 12{,}0\cdot \tfrac{1828}{9}=6{,}0\cdot \tfrac{1828}{9}=\tfrac{10968}{9}\;\mathrm{J}.
Somemos as energias finais:
E_{\text{final}}=128{,}0+\tfrac{10968}{9}=\tfrac{1152}{9}+\tfrac{10968}{9}=\tfrac{12120}{9}=\tfrac{4040}{3}\;\mathrm{J}.
Agora a variação:
\Delta E_{m}=E_{\text{final}}-E_{\text{inicial}}=\tfrac{4040}{3}-1000=\tfrac{4040-3000}{3}=\tfrac{1040}{3}\;\mathrm{J}.
Em forma decimal isso é aproximadamente
\Delta E_{m}\approx 346{,}\overline{6}\;\mathrm{J}.
Interpretação física do sinal: \Delta E_{m}>0 (positivo) significa que a energia cinética total aumentou. Isso ocorre porque, durante a explosão, energia interna (química, ligada, etc.) foi transformada em energia cinética das partes — a explosão “liberou” energia que apareceu como aumento da energia cinética relativa das peças. Note que o momento linear total e, portanto, a velocidade do centro de massa permaneceram os mesmos; o ganho de energia é na energia cinética relativa ao centro de massa.

Resposta

\displaystyle \vec{v}_{2}=14{,}0\,\mathrm{m/s}\,\vec{i}-\frac{8}{3}\,\mathrm{m/s}\,\vec{j}
\displaystyle \vec{V}_{\mathrm{cm,\,após}}=10{,}0\,\mathrm{m/s}\,\vec{i}ó
\displaystyle \Delta E_{m}=\frac{1040}{3}\,\mathrm{J}\approx 346{,}\overline{6}\,\mathrm{J}

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