Um raio de luz incide sobre a superfície de separaçāo de dois meios com diferentes índices de refração, movimentando-se no sentido do maior para o menor índice de refração. Os valores dos índices de refração dos meios em questão são 3,5 e 2,5. Para qual valor crítico do ângulo incidente ocorre reflexão total?
Passo 1
O enunciado informa que um raio de luz se move de um meio com maior índice de refração para um meio com menor índice de refração. Os índices de refração são
(meio de origem do raio) e
(meio para onde o raio se move). O problema pede para determinar o valor crítico do ângulo de incidência para que ocorra reflexão total interna.
Passo 2
Vamos recordar a lei de Snell, que relaciona os índices e os ângulos de incidência e refração:
Aqui
é o índice do meio de onde o raio vem,
é o índice do meio para onde o raio vai,
é o ângulo de incidência (medido em relação à normal) e
é o ângulo de refração. Esta fórmula vem da conservação da componente tangencial do vetor onda na interface.
Reflexão total interna só pode ocorrer quando o raio vai do meio mais denso para o menos denso, ou seja, quando
(que é o nosso caso). O ângulo crítico
é definido pelo caso limite em que o raio refratado corre ao longo da superfície, isto é,
. Substituindo isso na lei de Snell obtemos a condição:
logo
Isto é a fórmula prática para calcular o ângulo crítico.
Passo 3
Agora plugamos os valores dados:
Portanto
Passo 4
Para obter um valor numérico em graus sem depender de ferramenta mágica, podemos comparar com valores de referência. Sabemos que
Nosso valor
está entre esses dois. Fazendo uma interpolação linear simples entre
e
:
Isso indica que
está a cerca de
acima de
, ou seja
(Esse procedimento é equivalente a usar uma aproximação linear da função seno entre dois ângulos próximos — suficiente aqui para obter uma resposta com uma casa decimal confiável.)
Passo 5
Resumo e interpretação física: quando o ângulo de incidência
for maior que
obtido acima, a equação de Snell exigiria
, o que é impossível — por isso toda a energia é refletida de volta para o meio mais denso (reflexão total interna). Fica o número exato em forma fechada e também a aproximação numérica.