Um raio de luz incide sobre a superfície de separaçāo de dois meios com diferentes índices de refração, movimentando-se no sentido do maior para o menor índice de refração. Os valores dos índices de refração dos meios em questão são 3,5 e 2,5. Para qual valor crítico do ângulo incidente ocorre reflexão total?

Passo 1

O enunciado informa que um raio de luz se move de um meio com maior índice de refração para um meio com menor índice de refração. Os índices de refração são n_1=3{,}5 (meio de origem do raio) e n_2=2{,}5 (meio para onde o raio se move). O problema pede para determinar o valor crítico do ângulo de incidência para que ocorra reflexão total interna.

Passo 2

Vamos recordar a lei de Snell, que relaciona os índices e os ângulos de incidência e refração:
n_1\sin\theta_1 = n_2\sin\theta_2.
Aqui n_1 é o índice do meio de onde o raio vem, n_2 é o índice do meio para onde o raio vai, \theta_1 é o ângulo de incidência (medido em relação à normal) e \theta_2 é o ângulo de refração. Esta fórmula vem da conservação da componente tangencial do vetor onda na interface.
Reflexão total interna só pode ocorrer quando o raio vai do meio mais denso para o menos denso, ou seja, quando n_1>n_2 (que é o nosso caso). O ângulo crítico \theta_c é definido pelo caso limite em que o raio refratado corre ao longo da superfície, isto é, \theta_2=90^\circ. Substituindo isso na lei de Snell obtemos a condição:
n_1\sin\theta_c = n_2\sin 90^\circ = n_2\cdot 1,
logo
\sin\theta_c = \frac{n_2}{n_1}.
Isto é a fórmula prática para calcular o ângulo crítico.

Passo 3

Agora plugamos os valores dados:
\sin\theta_c = \frac{n_2}{n_1} = \frac{2{,}5}{3{,}5} = \frac{5}{7}\approx 0{,}7142857.
Portanto
\theta_c = \arcsin\!\left(\frac{5}{7}\right).

Passo 4

Para obter um valor numérico em graus sem depender de ferramenta mágica, podemos comparar com valores de referência. Sabemos que
\sin 45^\circ = 0{,}7071068\quad\text{e}\quad \sin 46^\circ = 0{,}7193398.
Nosso valor \sin\theta_c\approx 0{,}7142857 está entre esses dois. Fazendo uma interpolação linear simples entre 45^\circ e 46^\circ:
\text{fração}=\frac{0{,}7142857-0{,}7071068}{0{,}7193398-0{,}7071068}\approx 0{,}5869.çã
Isso indica que \theta_c está a cerca de 0{,}5869^\circ acima de 45^\circ, ou seja
\theta_c \approx 45^\circ + 0{,}587^\circ \approx 45{,}6^\circ.
(Esse procedimento é equivalente a usar uma aproximação linear da função seno entre dois ângulos próximos — suficiente aqui para obter uma resposta com uma casa decimal confiável.)

Passo 5

Resumo e interpretação física: quando o ângulo de incidência \theta_1 for maior que \theta_c obtido acima, a equação de Snell exigiria \sin\theta_2>1, o que é impossível — por isso toda a energia é refletida de volta para o meio mais denso (reflexão total interna). Fica o número exato em forma fechada e também a aproximação numérica.

Resposta

\theta_c = \arcsin\!\left(\frac{5}{7}\right) \approx 45{,}6^\circ

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