Seja uma onda electromagnética com campo elétrico dado por \vec{E}(x, t)=E_{y}(x, t) \hat{y} \operatorname{com} E_{y}(x, t)=E_{0} \cos (k x- \omega t ). Escreva o vetor do campo magnético em função de E_{y}(x, t). Qual a direção de \vec{B}(x, t) ?

Passo 1

O enunciado dá um campo elétrico de onda plana e pede duas coisas. Dados e perguntas (separados e claros):
  • Dado: o campo elétrico é \vec{E}(x,t)=E_{y}(x,t)\,\hat{y} com
E_{y}(x,t)=E_{0}\cos\bigl(kx-\omega t\bigr).
  • Pergunta 1: escrever o vetor do campo magnético \vec{B}(x,t) em função de E_{y}(x,t).
  • Pergunta 2: qual a direção de \vec{B}(x,t)?
Não vou resolver nada neste passo; apenas listei o que foi dado e o que se pede.

Passo 2

Observação sobre a forma da fase \bigl(kx-\omega t\bigr) e a direção de propagação da onda.
  • Para uma fase \varphi(x,t)=kx-\omega t constante temos x=(\omega/k)t+\text{const}. Portanto a onda desloca-se no sentido positivo do eixo x com velocidade de fase v=\omega/k.
  • Em vácuo essa velocidade é a velocidade da luz c, ou seja v=\omega/k=c. Vou usar isso adiante.

Passo 3

Condição geométrica entre \vec{E}, \vec{B} e a direção de propagação.
  • Numa onda eletromagnética livre (em vácuo) os vetores \vec{E}, \vec{B} e o vetor de propagação \vec{k} são mutuamente perpendiculares e formam uma base dextrógira (regra da mão direita).
  • Aqui \vec{E} está ao longo de \hat{y} e \vec{k} está ao longo de \hat{x} (propagação para + x). Para que \hat{y}\times\hat{B}=\hat{x} é necessário que \hat{B}=\hat{z}. Logo esperamos \vec{B} apontando na direção \hat{z} (sentido positivo) — confirmaremos pelo cálculo.

Passo 4

Usar a lei de Faraday (uma das equações de Maxwell) para relacionar \vec{E} e \vec{B}.
  • A forma diferencial da lei de Faraday é
\nabla\times\vec{E}=-\frac{\partial\vec{B}}{\partial t}.
  • Vou calcular o rotacional de \vec{E}. Como \vec{E}=E_{y}(x,t)\,\hat{y} e E_{y} depende apenas de x e t, os componentes do rotacional são:
(\nabla\times\vec{E})_{x}=\frac{\partial E_{z}}{\partial y}-\frac{\partial E_{y}}{\partial z}=0,
(\nabla\times\vec{E})_{y}=\frac{\partial E_{x}}{\partial z}-\frac{\partial E_{z}}{\partial x}=0,
(\nabla\times\vec{E})_{z}=\frac{\partial E_{y}}{\partial x}-\frac{\partial E_{x}}{\partial y}=\frac{\partial E_{y}}{\partial x},
pois E_{x}=E_{z}=0. Assim
\nabla\times\vec{E}=\frac{\partial E_{y}}{\partial x}\,\hat{z}.

Passo 5

Aplicar a lei de Faraday e integrar no tempo.
  • Pela lei de Faraday:
\frac{\partial E_{y}}{\partial x}\,\hat{z}=-\frac{\partial\vec{B}}{\partial t}.
Como o rotacional tem apenas componente z, \vec{B} só pode ter componente z: \vec{B}=B_{z}(x,t)\,\hat{z}.
  • Então
\frac{\partial B_{z}}{\partial t}=-\frac{\partial E_{y}}{\partial x}.
  • Calcule \partial E_{y}/\partial x. Para E_{y}(x,t)=E_{0}\cos(kx-\omega t) temos
\frac{\partial E_{y}}{\partial x}=-kE_{0}\sin(kx-\omega t).
  • Logo
\frac{\partial B_{z}}{\partial t}=kE_{0}\sin(kx-\omega t).

Passo 6

Encontrar B_{z}(x,t) integrando em t e determinar a amplitude.
  • Procure uma solução do tipo B_{z}(x,t)=B_{0}\cos(kx-\omega t). Derivando em t obtemos
\frac{\partial B_{z}}{\partial t}=B_{0}\,\omega\sin(kx-\omega t),
pois \frac{\partial}{\partial t}\cos(kx-\omega t)=\omega\sin(kx-\omega t) (verifique: d\cos\varphi/dt=-\sin\varphi\,d\varphi/dt=-\sin\varphi(-\omega)=\omega\sin\varphi).
  • Comparando com \partial B_{z}/\partial t=kE_{0}\sin(kx-\omega t) temos
B_{0}\,\omega = kE_{0}\quad\Rightarrow\quad B_{0}=\frac{k}{\omega}E_{0}.
  • Como v=\omega/k é a velocidade de propagação, invertendo k/\omega=1/v. Em vácuo v=c, portanto
B_{0}=\frac{E_{0}}{c}.

Passo 7

Escrever \vec{B}(x,t) em função de E_{y}(x,t) e discutir sinal/fase.
  • Vimos que B_{z}(x,t)=B_{0}\cos(kx-\omega t) com B_{0}=E_{0}/c. Como E_{y}(x,t)=E_{0}\cos(kx-\omega t), podemos escrever diretamente
B_{z}(x,t)=\frac{1}{c}\,E_{y}(x,t).
  • Portanto o campo magnético é
\vec{B}(x,t)=\frac{1}{c}\,E_{y}(x,t)\,\hat{z}.
  • Note que \vec{E} e \vec{B} estão em fase (mesma função coseno), perpendiculares entre si, e com magnitudes relacionadas por |\vec{E}|=c|\vec{B}|.

Passo 8

Confirmar a direção via produto vetorial e interpretar a potência transportada.
  • O vetor de Poynting (densidade de fluxo de energia) é \vec{S}=\dfrac{1}{\mu_{0}}\vec{E}\times\vec{B}. Tomando \vec{E}=E_{y}\hat{y} e \vec{B}=(1/c)E_{y}\hat{z} temos
\vec{E}\times\vec{B}=E_{y}\hat{y}\times\frac{1}{c}E_{y}\hat{z}=\frac{E_{y}^{2}}{c}\,\hat{x},
ou seja \vec{S} aponta para +\hat{x}, consistente com propagação na direção +x.
  • Assim a direção de \vec{B} é ao longo de \hat{z} (sentido positivo) e \vec{E}, \vec{B}, \vec{k} formam um tripé dextrógiro.

Resposta

\displaystyle \vec{B}(x,t)=\frac{1}{c}\,E_{y}(x,t)\,\hat{z}=\frac{E_{0}}{c}\cos\bigl(kx-\omega t\bigr)\,\hat{z}.
Direção de \vec{B}(x,t): ao longo de \hat{z} (sentido positivo).

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