Seja uma onda electromagnética com campo elétrico dado por
). Escreva o vetor do campo magnético em função de
. Qual a direção de
?
Passo 1
O enunciado dá um campo elétrico de onda plana e pede duas coisas. Dados e perguntas (separados e claros):
- Dado: o campo elétrico é
com
- Pergunta 1: escrever o vetor do campo magnético
em função de . - Pergunta 2: qual a direção de
?
Não vou resolver nada neste passo; apenas listei o que foi dado e o que se pede.
Passo 2
Observação sobre a forma da fase
e a direção de propagação da onda.
- Para uma fase
constante temos . Portanto a onda desloca-se no sentido positivo do eixo com velocidade de fase . - Em vácuo essa velocidade é a velocidade da luz
, ou seja . Vou usar isso adiante.
Passo 3
Condição geométrica entre
,
e a direção de propagação.
- Numa onda eletromagnética livre (em vácuo) os vetores
, e o vetor de propagação são mutuamente perpendiculares e formam uma base dextrógira (regra da mão direita). - Aqui
está ao longo de e está ao longo de (propagação para + ). Para que é necessário que . Logo esperamos apontando na direção (sentido positivo) — confirmaremos pelo cálculo.
Passo 4
Usar a lei de Faraday (uma das equações de Maxwell) para relacionar
e
.
- A forma diferencial da lei de Faraday é
- Vou calcular o rotacional de
. Como e depende apenas de e , os componentes do rotacional são:
pois
. Assim
Passo 5
Aplicar a lei de Faraday e integrar no tempo.
- Pela lei de Faraday:
Como o rotacional tem apenas componente
,
só pode ter componente
:
.
- Então
- Calcule
. Para temos
- Logo
Passo 6
Encontrar
integrando em
e determinar a amplitude.
- Procure uma solução do tipo
. Derivando em obtemos
pois
(verifique:
).
- Comparando com
temos
- Como
é a velocidade de propagação, invertendo . Em vácuo , portanto
Passo 7
Escrever
em função de
e discutir sinal/fase.
- Vimos que
com . Como , podemos escrever diretamente
- Portanto o campo magnético é
- Note que
e estão em fase (mesma função coseno), perpendiculares entre si, e com magnitudes relacionadas por .
Passo 8
Confirmar a direção via produto vetorial e interpretar a potência transportada.
- O vetor de Poynting (densidade de fluxo de energia) é
. Tomando e temos
ou seja
aponta para
, consistente com propagação na direção
.
- Assim a direção de
é ao longo de (sentido positivo) e , , formam um tripé dextrógiro.
Resposta
Direção de