Um raio de luz propagando-se no ar incide com um ângulo
sobre a superfície superior de uma placa transparente, sendo duas superfícies planas e paralelas.
Mostre que
.
Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um raio de luz que está viajando pelo ar e bate na superfície de uma placa transparente que tem duas faces planas e paralelas. O raio faz um ângulo
com a superfície. Nosso objetivo aqui é mostrar que esse ângulo
é igual a outro ângulo que a gente vai chamar de
. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre refração da luz e Lei de Snell. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é ângulo de incidência. Quando a luz bate numa superfície, o ângulo que ela forma com uma linha imaginária perpendicular à superfície (chamada de normal) é o ângulo de incidência, que aqui é
. Já o ângulo que a luz faz depois de passar para outro meio (como da água para o ar) é chamado de ângulo de refração.
Passo 3
Agora, quando o raio de luz entra na placa transparente, ele vai passar de um meio para outro. No nosso caso, do ar para a placa. A Lei de Snell nos ajuda a relacionar os ângulos de incidência e refração com os índices de refração dos dois meios. A fórmula é:
Onde:
-
é o índice de refração do primeiro meio (ar, que é aproximadamente 1), -
é o ângulo de incidência ( ), -
é o índice de refração da placa, -
é o ângulo de refração dentro da placa ( ).
Passo 4
Aplicando a Lei de Snell para a entrada do raio na placa:
Isso simplifica para:
Então, podemos isolar
:
Passo 5
Agora, o raio de luz está dentro da placa e se aproxima da segunda superfície paralela para sair. Quando ele sai da placa de volta para o ar, aplicamos novamente a Lei de Snell, mas dessa vez invertendo os índices:
Onde
é o ângulo de refração ao sair da placa. Substituindo o que encontramos no Passo 4:
Simplificando:
Passo 6
Quando
, e considerando que estamos falando de ângulos agudos (o que é comum em refração), temos que:
O que significa que o ângulo de saída é igual ao ângulo de entrada.
Passo 7
Mas, como as superfícies são paralelas, o ângulo dentro da placa
é igual ao ângulo de saída
. Portanto:
Resposta
Portanto, mostramos que
.