Um raio de luz propagando-se no ar incide com um ângulo thetaa sobre a superfície superior de uma placa transparente, sendo duas superfícies planas e paralelas.
Mostre que thetaa=thetaa^prime.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um raio de luz que está viajando pelo ar e bate na superfície de uma placa transparente que tem duas faces planas e paralelas. O raio faz um ângulo thetaa com a superfície. Nosso objetivo aqui é mostrar que esse ângulo thetaa é igual a outro ângulo que a gente vai chamar de thetaa^prime. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre refração da luz e Lei de Snell. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é ângulo de incidência. Quando a luz bate numa superfície, o ângulo que ela forma com uma linha imaginária perpendicular à superfície (chamada de normal) é o ângulo de incidência, que aqui é thetaa. Já o ângulo que a luz faz depois de passar para outro meio (como da água para o ar) é chamado de ângulo de refração.

Passo 3

Agora, quando o raio de luz entra na placa transparente, ele vai passar de um meio para outro. No nosso caso, do ar para a placa. A Lei de Snell nos ajuda a relacionar os ângulos de incidência e refração com os índices de refração dos dois meios. A fórmula é:
n1 sin(theta1) = n2 sin(theta2)
Onde:
  • n1 é o índice de refração do primeiro meio (ar, que é aproximadamente 1),
  • theta1 é o ângulo de incidência ( thetaa),
  • n2 é o índice de refração da placa,
  • theta2 é o ângulo de refração dentro da placa ( thetaa^prime).

Passo 4

Aplicando a Lei de Snell para a entrada do raio na placa:
1 cdot sin(thetaa) = n2 cdot sin(thetaa^prime)
Isso simplifica para:
sin(thetaa) = n2 sin(thetaa^prime)
Então, podemos isolar sin(thetaa^prime):
sin(thetaa^prime) = sin(thetaa)n2

Passo 5

Agora, o raio de luz está dentro da placa e se aproxima da segunda superfície paralela para sair. Quando ele sai da placa de volta para o ar, aplicamos novamente a Lei de Snell, mas dessa vez invertendo os índices:
n2 sin(thetaa^prime) = 1 cdot sin(thetaa^primeprime)
Onde thetaa^primeprime é o ângulo de refração ao sair da placa. Substituindo o que encontramos no Passo 4:
n2 cdot sin(thetaa)n2 = sin(thetaa^primeprime)
Simplificando:
sin(thetaa) = sin(thetaa^primeprime)

Passo 6

Quando sin(thetaa) = sin(thetaa^primeprime), e considerando que estamos falando de ângulos agudos (o que é comum em refração), temos que:
thetaa = thetaa^primeprime
O que significa que o ângulo de saída é igual ao ângulo de entrada.

Passo 7

Mas, como as superfícies são paralelas, o ângulo dentro da placa thetaa^prime é igual ao ângulo de saída thetaa^primeprime. Portanto:
thetaa = thetaa^primeprime = thetaa^prime

Resposta

Portanto, mostramos que thetaa = thetaa^prime.

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