A força centrípeta de uma partícula de massa
movendo-se com velocidade uniforme
ao longo de um círculo de raio
é proporcional a uma potência
do raio, a uma potência
da velocidade e a uma potência da massa
. Determine os valores de
e
lembrando que a unidade da força é
.
(1 ponto)
(1 ponto)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos que encontrar os valores das potências $ m $, $ n $ e $ k $ na relação da força centrípeta $ F_c $ que é proporcional a $ r^{m} $, $ v^{n} $ e $ m^{k}
N
kg
m
s $) é representado como $ N = \mathrm{kg \cdot m/s^2} $. Para resolver isso, vamos usar a análise dimensional, ou seja, comparar as unidades de cada lado da equação para encontrar os valores de $ m $, $ n $ e $ k $.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a expressão da força centrípeta. Ela é dada por:
Aqui, $ m $ é a massa, $ v $ é a velocidade e $ r $ é o raio da trajetória circular.
Passo 3
A questão nos diz que $ F_c $ é proporcional a $ r^{m} \cdot v^{n} \cdot m^{k} $. Então, podemos escrever:
Agora, vamos analisar as unidades de cada termo para igualar as potências.
Passo 4
Vamos identificar as unidades de cada variável:
- Massa ($ m $): $ kg $
- Velocidade ($ v $): $ m/s $
- Raio ($ r $): $ m $
- Força ($ F_c $): $ kg \cdot m/s^2 $
Passo 5
Expressando as unidades da relação proporcional:
Simplificando:
Passo 6
Sabemos que a unidade de $ F_c $ é $ kg \cdot m/s^2 $. Portanto, igualamos as potências de cada unidade:
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Passo 7
Resolvendo o sistema:
- Da terceira equação: $ -n = -2 $ então $ n = 2 $
- Da segunda equação: $ m + 2 = 1 $ então $ m = -1 $
- Da primeira equação: $ k = 1 $
Resposta
Os valores são $ m = -1 $, $ n = 2 $ e $ k = 1 $.