A força centrípeta de uma partícula de massa m movendo-se com velocidade uniforme v ao longo de um círculo de raio r é proporcional a uma potência r^m do raio, a uma potência v^n da velocidade e a uma potência da massa m^k. Determine os valores de m, n e k lembrando que a unidade da força é N=kgm / s^2.
(1 ponto)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos que encontrar os valores das potências $ m $, $ n $ e $ k $ na relação da força centrípeta $ F_c $ que é proporcional a $ r^{m} $, $ v^{n} $ e $ m^{k} m çíéçéé N n kg k m Fc s $) é representado como $ N = \mathrm{kg \cdot m/s^2} $. Para resolver isso, vamos usar a análise dimensional, ou seja, comparar as unidades de cada lado da equação para encontrar os valores de $ m $, $ n $ e $ k $.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a expressão da força centrípeta. Ela é dada por:
Fc = m v^2r
Aqui, $ m $ é a massa, $ v $ é a velocidade e $ r $ é o raio da trajetória circular.

Passo 3

A questão nos diz que $ F_c $ é proporcional a $ r^{m} \cdot v^{n} \cdot m^{k} $. Então, podemos escrever:
Fc
Agora, vamos analisar as unidades de cada termo para igualar as potências.

Passo 4

Vamos identificar as unidades de cada variável:
  • Massa ($ m $): $ kg $
  • Velocidade ($ v $): $ m/s $
  • Raio ($ r $): $ m $
  • Força ($ F_c $): $ kg \cdot m/s^2 $

Passo 5

Expressando as unidades da relação proporcional:
[Fc] = [r^m cdot v^n cdot m^k] = (m)^m cdot (ms)^n cdot (kg)^k
Simplificando:
kg^k cdot m^m+n cdot s^-n

Passo 6

Sabemos que a unidade de $ F_c $ é $ kg \cdot m/s^2 $. Portanto, igualamos as potências de cada unidade:
Fc
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
kg cdot m/s^2

Passo 7

Resolvendo o sistema:
  • Da terceira equação: $ -n = -2 $ então $ n = 2 $
  • Da segunda equação: $ m + 2 = 1 $ então $ m = -1 $
  • Da primeira equação: $ k = 1 $

Resposta

Os valores são $ m = -1 $, $ n = 2 $ e $ k = 1 $.

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