O raio da órbita da Terra em torno do Sol (supostamente circular) é igual a 1,50.10^{8} \mathrm{~km}, e a Terra percorre essa órbita em 365 dias.
(a) Qual é o módulo da velocidade orbital da Terra \mathrm{em} \mathrm{m} / \mathrm{s} ?
(b) Qual é a aceleração radial da Terra no sentido do Sol em m / s^{2} ?
(c) Repita os cálculos de (a) e de (b) para o planeta Mercúrio (raio da órbita =5,79.10^{7} km , período orbital =88,0 dias).

Passo 1

O enunciado dá o raio da órbita da Terra em torno do Sol r_{\oplus}=1{,}50\times10^{8}\\ \mathrm{km} e o período T_{\oplus}=365\\ \mathrm{dias}. Pede-se (a) o módulo da velocidade orbital e (b) a aceleração radial (centrípeta). O conteúdo é movimento circular uniforme, em que
v = \frac{2\pi r}{T}
e
a_{r} = \frac{v^{2}}{r}\,.
Vamos converter quilômetros em metros e dias em segundos para aplicar essas fórmulas.

Passo 2

Converter as grandezas da Terra para o SI e calcular v_{\oplus}.
r_{\oplus}=1{,}50\times10^{8}\\ \mathrm{km}\times10^{3} = 1{,}50\times10^{11}\\ \mathrm{m}
T_{\oplus}=365\times24\times3600 = 31\,536\,000\\ \mathrm{s}
Logo,
v_{\oplus} = \frac{2\pi\,r_{\oplus}}{T_{\oplus}} = \frac{2\pi\,\bigl(1{,}50\times10^{11}\bigr)}{3{,}1536\times10^{7}} \approx2{,}99\times10^{4}\\ \mathrm{m/s}\,.

Passo 3

Calcular a aceleração radial da Terra:
a_{r,\oplus} = \frac{v_{\oplus}^{2}}{r_{\oplus}} = \frac{\bigl(2{,}99\times10^{4}\bigr)^{2}}{1{,}50\times10^{11}} \approx5{,}96\times10^{-3}\\ \mathrm{m/s^{2}}\,.

Passo 4

Converter as grandezas de Mercúrio para o SI e calcular v_{\mathrm{Merc}}.
r_{\mathrm{Merc}}=5{,}79\times10^{7}\\ \mathrm{km}\times10^{3}=5{,}79\times10^{10}\\ \mathrm{m}
T_{\mathrm{Merc}}=88{,}0\times24\times3600=7{,}603\,200\\ \mathrm{s}
Logo,
v_{\mathrm{Merc}} = \frac{2\pi\,r_{\mathrm{Merc}}}{T_{\mathrm{Merc}}} = \frac{2\pi\,\bigl(5{,}79\times10^{10}\bigr)}{7{,}603\,200} \approx4{,}78\times10^{4}\\ \mathrm{m/s}\,.

Passo 5

Calcular a aceleração radial de Mercúrio:
a_{r,\mathrm{Merc}} = \frac{v_{\mathrm{Merc}}^{2}}{r_{\mathrm{Merc}}} = \frac{\bigl(4{,}78\times10^{4}\bigr)^{2}}{5{,}79\times10^{10}} \approx3{,}95\times10^{-2}\\ \mathrm{m/s^{2}}\,.

Resposta

(a) v_{\oplus}\approx2{,}99\times10^{4}\\ \mathrm{m/s}
(b) a_{r,\oplus}\approx5{,}96\times10^{-3}\\ \mathrm{m/s^{2}}
(c) Para Mercúrio: v_{\mathrm{Merc}}\approx4{,}78\times10^{4}\\ \mathrm{m/s} e a_{r,\mathrm{Merc}}\approx3{,}95\times10^{-2}\\ \mathrm{m/s^{2}}

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