A Terra possui um raio igual a 6.380 km e faz um giro completo em 24 horas. (a) Qual é a aceleração radial de um objeto no equador da Terra? Dê sua resposta em \mathrm{m} / \mathrm{s} 2 e como uma fração de g. (b) Se a_{\text {rad }} no equador fosse maior do que g, os objetos seriam ejetados da Terra e voariam para o espaço. Qual deveria ser o período mínimo de rotação da Terra para que isso ocorresse?

Passo 1

O enunciado nos dá o raio da Terra R=6{,}380\\ \mathrm{km} e o período de rotação T=24\\ \mathrm{h}. Pede em (a) a aceleração radial a_{\mathrm{rad}} na linha do equador em \mathrm{m/s^2} e como fração de g. Em (b) pede o período mínimo de rotação T_{\min} tal que a_{\mathrm{rad}}=g, ou seja, para que objetos fossem “ejetados”.

Passo 2

Para calcular a_{\mathrm{rad}} usamos a relação entre velocidade angular \omega e aceleração centrípeta:
\omega = \frac{2\pi}{T}, \qquad a_{\mathrm{rad}} = \omega^2 R.
Antes, convertemos unidades:
R = 6{,}380\\ \mathrm{km} = 6{,}380\times10^3\\ \mathrm{m},
T = 24\\ \mathrm{h} = 24\times3600\\ \mathrm{s} = 86\,400\\ \mathrm{s}.

Passo 3

Calculamos \omega:
\omega = \frac{2\pi}{86\,400\\ \mathrm{s}} \approx 7{,}27\times10^{-5}\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 4

Substituímos em a_{\mathrm{rad}} = \omega^2 R:
a_{\mathrm{rad}} \approx (7{,}27\times10^{-5})^2 \times (6{,}380\times10^3) \approx 0{,}0339\\ \mathrm{m/s^2}.

Passo 5

Para escrever como fração de g (adotando g\approx9{,}80\\ \mathrm{m/s^2}):
\frac{a_{\mathrm{rad}}}{g} \approx \frac{0{,}0339}{9{,}80} \approx 3{,}46\times10^{-3} \approx 0{,}00346\,g.

Passo 6

Para que objetos se ejetem, precisamos ter a_{\mathrm{rad}}=g, ou seja,
\omega^2 R = g \quad\Longrightarrow\quad \omega = \sqrt{\frac{g}{R}} \quad\Longrightarrow\quad T_{\min} = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi\sqrt{\frac{R}{g}}.
Substituindo R=6{,}380\times10^3\\ \mathrm{m} e g=9{,}80\\ \mathrm{m/s^2}:
T_{\min} = 2\pi\sqrt{\frac{6{,}380\times10^3}{9{,}80}} \approx 5{,}07\times10^3\\ \mathrm{s} \approx 1{,}41\\ \mathrm{h} \approx 84{,}5\\ \mathrm{min}.

Resposta

(a) a_{\mathrm{rad}}\approx0{,}0339\\ \mathrm{m/s^2}\approx0{,}00346\,g.
(b) T_{\min}\approx5{,}07\times10^3\\ \mathrm{s}\approx1{,}41\\ \mathrm{h} (cerca de 84,5 minutos).

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