O raio em repouso da Terra é de 6370 km e sua velocidade orbital em torno do Sol é de 29,8 km / s. Em quanto o diâmetro da Terra pareceria encurtado para um observador estacionado no espaço de maneira a poder assistir a Terra passar com essa velocidade?

Passo 1

Vamos resumir o problema: queremos descobrir quanto o diâmetro da Terra pareceria encurtado para um observador estacionado no espaço, considerando que a Terra está se movendo a uma velocidade de 29,8 , km/s em relação a esse observador. O conteúdo relacionado a essa questão é a Relatividade Restrita, especificamente o fenômeno da contração do comprimento. Para resolver, vamos precisar da fórmula da contração do comprimento e dos valores dados: o raio da Terra em repouso e sua velocidade orbital.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a contração do comprimento. De acordo com a Teoria da Relatividade Restrita de Einstein, objetos que estão se movendo a uma velocidade próxima à da luz em relação a um observador sofrem um encurtamento na direção do movimento. A fórmula para calcular o comprimento contraído ( L) é:
L = L0 raiz1 - v^2c^2
onde:
  • L0 é o comprimento original (em repouso),
  • v é a velocidade do objeto,
  • c é a velocidade da luz no vácuo ( approx 3 times 10^5 , km/s).

Passo 3

Primeiro, precisamos determinar o diâmetro da Terra em repouso. Sabemos que o raio da Terra ( R) é de 6370 , km, então o diâmetro ( D0) é:
D0 = 2 times R = 2 times 6370 , km = 12740 , km

Passo 4

Agora, vamos aplicar a fórmula da contração do comprimento para encontrar o diâmetro percebido ( L):
L = 12740 , km times raiz1 - v^2c^2
Substituindo os valores de v e c:
L = 12740 , km times raiz1 - (29,8)^2(3 times 10^5)^2

Passo 5

Vamos calcular o termo dentro da raiz:
v^2c^2 = (29,8)^2(3 times 10^5)^2 = 888,049 times 10^10 approx 9,867 times 10^-6
Portanto:
raiz1 - 9,867 times 10^-6 approx raiz0,999990133 approx 0,999995066

Passo 6

Multiplicando pelo diâmetro em repouso:
L approx 12740 , km times 0,999995066 approx 12739,925 , km

Resposta

O diâmetro da Terra pareceria encurtado em aproximadamente 0,075 , km, ou seja, a Terra teria um diâmetro de cerca de 12739,925 , km para o observador estacionado no espaço.

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