Em uma região condutora:
H=y z(x^2+y^2) ax-y^2 x z ay+4 x^2 y^2 az A / m
Determine J em (5, 2, -3)

Passo 1

Beleza! A gente tem um campo magnético (ou de intensidade de campo magnético) dado por
H(x,y,z)=y,z,(x^2+y^2),ax;-;y^2x,z,ay;+;4x^2y^2,az(tfracAm)
e precisa achar a densidade de corrente J no ponto .
Conteúdo: eletromagnetismo, especificamente a forma diferencial da Lei de Ampère (rotacional de HJ, se estivermos em regime estático, sem variação de campo elétrico no tempo).
O que a gente vai usar:
  • Operador rotacional: .
  • Cálculo de derivadas parciais.

Passo 2

Escrevendo a fórmula do rotacional em coordenadas cartesianas:
nablatimesH = ax & ay & az partial/partial x & partial/partial y & partial/partial z Hx & Hy & Hz
Ou seja,
(nablatimesH)x=partial Hzpartial y-partial Hypartial z, (nablatimesH)y=partial Hxpartial z-partial Hzpartial x, (nablatimesH)z=partial Hypartial x-partial Hxpartial y

Passo 3

Vamos primeiro identificar as componentes:
Hx=y,z,(x^2+y^2), Hy=-,y^2,x,z, Hz=4,x^2,y^2
Agora as derivadas:
  1. Componente partial Hzpartial y =partial (4x^2y^2)partial y =8x^2y, partial Hypartial z =partial(-x,y^2,z)partial z =-x,y^2 :
(nablatimesH)x =8x^2y-(-x,y^2) =8x^2y+x,y^2 =x,y,(8x+y)
Logo
partial Hxpartial z =partiall(yz(x^2+y^2)r)partial z =y,(x^2+y^2), partial Hzpartial x =partial(4x^2y^2)partial x =8xy^2
  1. Componente (nablatimesH)y =y(x^2+y^2)-8xy^2 =y,x^2-8x,y^2+y^3 =y,(x^2-8xy+y^2) :
partial Hypartial x =partial(-x,y^2,z)partial x =-y^2z, partial Hxpartial y =partiall(yz(x^2+y^2)r)partial y =z(x^2+y^2)+yzcdot2y =z(x^2+3y^2)
Então
(nablatimesH)z =-y^2z-;z(x^2+3y^2) =-z(x^2+4y^2)
  1. Componente :
Logo

Passo 4

Agora a gente avalia tudo em x,y,(8x+y)=5cdot2,(8cdot5+2)=10cdot42=420 :
  1. y,(x^2-8xy+y^2) =2l(25-8cdot5cdot2+4r) =2(25-80+4)=2(-51)=-102 -componente:
-,z,(x^2+4y^2) =-(-3),(25+4cdot4) =3,(25+16)=3cdot41=123
  1. -componente:
  1. -componente:

Resposta

boxed J(5,2,-3) =nablatimesH =420,ax;-;102,ay;+;123,az l(tfracAm^2r)

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