Um raio vetor, de comprimento
, roda no plano
, com velocidade angular inicial
e aceleração angular
. Se no instante inicial o raio vetor possui posição angular igual a
, calcule os vetores velocidade angular, velocidade e aceleração no instante
. Os vetores velocidade e aceleração são relativos a qualquer ponto sobre o eixo.
Passo 1
Beleza! Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos um vetor raio com comprimento
metros que gira no plano
. Inicialmente, ele tem uma velocidade angular de
e uma aceleração angular de
. No começo, a posição angular é
. Queremos descobrir os vetores de velocidade angular, velocidade linear e aceleração no instante
segundo. Para isso, vamos usar conceitos de cinemática rotacional, como posição angular, velocidade angular e aceleração angular, e também relacionar isso à velocidade e aceleração lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a posição angular no tempo
s. Sabemos que a posição angular
pode ser calculada usando a equação do movimento rotacional com aceleração angular constante:
Onde:
-
é a posição angular inicial, -
é a velocidade angular inicial, -
é a aceleração angular.
Substituindo os valores:
Calculando cada termo:
Então, a posição angular no tempo
s é
.
Passo 3
Agora, vamos determinar a velocidade angular no tempo
s. A velocidade angular
é dada por:
Substituindo os valores:
Portanto, a velocidade angular no instante
s é
.
Passo 4
Vamos agora calcular o vetor velocidade angular. Como o movimento é no plano
, o vetor velocidade angular
aponta na direção perpendicular ao plano, ou seja, ao longo do eixo
. A direção depende do sentido da rotação. Considerando que a velocidade angular positiva aponta na direção positiva do eixo
, temos:
Onde
é o vetor unitário na direção do eixo
.
Passo 5
Em seguida, vamos calcular a velocidade linear
. A velocidade linear de um ponto em rotação é dada por:
Onde
é o vetor posição. Sabemos que
e que o ângulo no tempo
s é
. Podemos representar
no plano
como:
Calculando:
Então:
Agora, calculando o produto vetorial:
Sabemos que:
Então:
Passo 6
Por último, vamos calcular a aceleração. A aceleração linear em movimento rotacional tem duas componentes: aceleração centrípeta e aceleração tangencial.
A aceleração centrípeta
é dada por:
E a aceleração tangencial
é:
Onde
é o vetor posição rotacionado 90 graus no sentido anti-horário.
Vamos calcular cada uma:
- Aceleração centrípeta:
- Aceleração tangencial:
Primeiro, calculamos
:
Então:
Agora, somamos as duas componentes para obter a aceleração total
:
Simplificando:
Resposta
No instante
s, os vetores são:
- Velocidade angular:
- Velocidade linear:
- Aceleração linear: