Um raio vetor, de comprimento raiz2 m, roda no plano x y, com velocidade angular inicial pi rad / s e aceleração angular -pi rad / s^2. Se no instante inicial o raio vetor possui posição angular igual a -pi / 8 rad, calcule os vetores velocidade angular, velocidade e aceleração no instante t=12 s. Os vetores velocidade e aceleração são relativos a qualquer ponto sobre o eixo.

Passo 1

Beleza! Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos um vetor raio com comprimento raiz2 metros que gira no plano xy. Inicialmente, ele tem uma velocidade angular de pi , rad/s e uma aceleração angular de -pi , rad/s^2. No começo, a posição angular é -pi/8 , rad. Queremos descobrir os vetores de velocidade angular, velocidade linear e aceleração no instante t = 12 segundo. Para isso, vamos usar conceitos de cinemática rotacional, como posição angular, velocidade angular e aceleração angular, e também relacionar isso à velocidade e aceleração lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a posição angular no tempo t = 12 s. Sabemos que a posição angular theta(t) pode ser calculada usando a equação do movimento rotacional com aceleração angular constante:
theta(t) = theta0 + omega0 t + 12 alpha t^2
Onde:
  • theta0 = -pi8 , rad é a posição angular inicial,
  • omega0 = pi , rad/s é a velocidade angular inicial,
  • alpha = -pi , rad/s^2 é a aceleração angular.
Substituindo os valores:
theta(12) = -pi8 + pi (12) + 12 (-pi) (12)^2
Calculando cada termo:
-pi8 + pi2 - pi8 = (-pi8 - pi8) + pi2 = -pi4 + pi2 = pi4 , rad
Então, a posição angular no tempo t = 12 s é theta = pi4 , rad.

Passo 3

Agora, vamos determinar a velocidade angular no tempo t = 12 s. A velocidade angular omega(t) é dada por:
omega(t) = omega0 + alpha t
Substituindo os valores:
omega(12) = pi + (-pi) (12) = pi - pi2 = pi2 , rad/s
Portanto, a velocidade angular no instante t = 12 s é omega = pi2 , rad/s.

Passo 4

Vamos agora calcular o vetor velocidade angular. Como o movimento é no plano xy, o vetor velocidade angular omega aponta na direção perpendicular ao plano, ou seja, ao longo do eixo z. A direção depende do sentido da rotação. Considerando que a velocidade angular positiva aponta na direção positiva do eixo z, temos:
omega = pi2 , k , rad/s
Onde k é o vetor unitário na direção do eixo z.

Passo 5

Em seguida, vamos calcular a velocidade linear v. A velocidade linear de um ponto em rotação é dada por:
v = omega times r
Onde r é o vetor posição. Sabemos que |r| = raiz2 , m e que o ângulo no tempo t = 12 s é theta = pi4 , rad. Podemos representar r no plano xy como:
r = raiz2 cos(pi4) i + raiz2 sin(pi4) j
Calculando:
cos(pi4) = sin(pi4) = raiz22
Então:
r = raiz2 (raiz22) i + raiz2 (raiz22) j = 1 , i + 1 , j , m
Agora, calculando o produto vetorial:
v = omega times r = pi2 k times (1 i + 1 j)
Sabemos que:
k times i = j k times j = -i
Então:
v = pi2 (j - i) , m/s

Passo 6

Por último, vamos calcular a aceleração. A aceleração linear em movimento rotacional tem duas componentes: aceleração centrípeta e aceleração tangencial.
A aceleração centrípeta ac é dada por:
ac = -omega^2 r
E a aceleração tangencial at é:
at = alpha r^perp
Onde r^perp é o vetor posição rotacionado 90 graus no sentido anti-horário.
Vamos calcular cada uma:
  1. Aceleração centrípeta:
ac = -(pi2)^2 (1 i + 1 j) = -pi^24 (1 i + 1 j) , m/s^2
  1. Aceleração tangencial:
Primeiro, calculamos r^perp:
r^perp = -1 j + 1 i
Então:
at = -pi (-1 j + 1 i) = pi j - pi i , m/s^2
Agora, somamos as duas componentes para obter a aceleração total a:
a = ac + at = (-pi^24 i + pi i) + (-pi^24 j + pi j)
Simplificando:
a = (pi - pi^24) i + (pi - pi^24) j , m/s^2

Resposta

No instante t = 12 s, os vetores são:
  • Velocidade angular: omega = pi2 , k , rad/s
  • Velocidade linear: v = pi2 (j - i) , m/s
  • Aceleração linear: a = (pi - pi^24) i + (pi - pi^24) j , m/s^2

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