4-
  1. A raiz quadrada de 2 é irracional.
  2. Se a é um número racional e b é um número irracional, então a+b é um número irracional.
  3. Não existe número racional que sirva como solução para a equação x^{5}+x^{4}+x^{3}+ x^{2}+1=0.
As afirmações acima podem ser provadas utilizando o seguinte método dedutivo:
Escolha uma:
a. Modus tollens.
b. Tautologia.
c. Contradição.
d. Contrapositivo.
e. Modus ponens.

Passo 1

O enunciado apresenta três afirmações e pede que se escolha qual dos métodos dedutivos listados (a–e) pode ser usado para prová-las. As três afirmações são:
  • (1) A raiz quadrada de 2 é irracional.
  • (2) Se a é um número racional e b é um número irracional, então a+b é um número irracional.
  • (3) Não existe número racional que sirva como solução para a equação x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+1=0.
O que é pedido: indicar qual dos métodos (a. Modus tollens; b. Tautologia; c. Contradição; d. Contrapositivo; e. Modus ponens) é adequado para provar essas três afirmações.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • As três sentenças devem ser provadas com um mesmo método dedutivo entre as opções.
  • As opções são métodos de lógica dedutiva bem conhecidos (listados acima).

Passo 2

Vou explicar, de forma simples e rápida, o que cada método significa (sem ainda escolher):
  • Modus ponens: é a regra "se P então Q ; P é verdade; logo Q". Ex.: “Se chove então a rua molha; está chovendo; logo a rua está molhada.”
  • Modus tollens: é a regra “se P então Q ; Q é falso; logo P é falso”. Ex.: “Se chove então a rua molha; a rua não está molhada; logo não está chovendo.”
  • Contrapositivo: provar P\Rightarrow Q mostrando o equivalente \lnot Q\Rightarrow \lnot P. É uma forma de prova direta, transformando a implicação em sua contrapositiva.
  • Contradição (prova por contradição): assume-se que a conclusão é falsa (ou que a negação do que se quer provar é verdadeira) e mostra-se que isso leva a uma contradição com hipóteses ou com fatos já conhecidos; assim a negação é impossível e a afirmação desejada é verdadeira.
  • Tautologia: normalmente refere-se a uma fórmula lógica verdadeira em todas as interpretações; não é um método de prova prático aplicado diretamente a proposições matemáticas individuais (mais uma propriedade lógica).

Passo 3

Por que vamos prestar atenção especial à prova por contradição: muitas declarações do tipo “não existe…” ou “um número é irracional” são tradicionalmente demonstradas assumindo o contrário (por exemplo: assumir que existe uma solução racional, ou assumir que \sqrt{2} é racional) e então deduzir consequências que violam propriedades fundamentais (como divisibilidade por 2, ou definição de números em forma de fração irredutível). Esse estilo (assumir a negação e obter um absurdo) é exatamente a prova por contradição. Vou mostrar isso explicitamente ao provar cada afirmação; isso justificará por que a opção correta é a prova por contradição.

Passo 4

Prova detalhada, passo a passo, de (1) usando contradição — assim você aprende a técnica.
Quer provar: \sqrt{2} é irracional.
Estratégia por contradição: assumir o oposto e achar contradição.
  1. Assuma o contrário: suponha que \sqrt{2} seja racional. Então existe uma fração \dfrac{p}{q} em forma irredutível (ou seja, p e q inteiros sem fator comum maior que 1, e q>0) tal que
\sqrt{2}=\frac{p}{q}.
  1. Eleve ambos os lados ao quadrado:
2=\frac{p^{2}}{q^{2}}\quad\Rightarrow\quad p^{2}=2q^{2}.
  1. Da igualdade p^{2}=2q^{2} conclui-se que p^{2} é par (porque é igual a 2 vezes um inteiro). Se p^{2} é par, então p é par (pois se um quadrado é par, a base também é par).
  2. Escreva p=2k para algum inteiro k. Substituindo em p^{2}=2q^{2} obtém-se
(2k)^{2}=2q^{2}\quad\Rightarrow\quad 4k^{2}=2q^{2}\quad\Rightarrow\quad 2k^{2}=q^{2}.
  1. Da última igualdade segue que q^{2} é par, logo q é par.
  2. Conclusão: p e q são ambos pares, isto é, têm o fator 2 em comum. Isso contradiz a hipótese de que a fração \dfrac{p}{q} estava em forma irredutível (sem fatores comuns).
  3. Como a suposição inicial (que \sqrt{2} é racional) leva a uma contradição, a suposição é falsa. Logo \sqrt{2} é irracional.
Comentários didáticos: a essência da contradição foi assumir a negação e deduzir algo que viola uma hipótese básica (a irredutibilidade). Esse é o padrão de provas por contradição: assume-se ¬(o que se quer provar) e deduz-se impossibilidade.

Passo 5

Prova detalhada de (2) usando contradição — prática direta da técnica.
Quer provar: se a é racional e b é irracional, então a+b é irracional.
Estratégia por contradição: assumir que a+b é racional e mostrar absurdo.
  1. Suponha, para obter contradição, que a é racional, b é irracional e que, contrariamente ao que se quer provar, a+b é racional.
  2. Como a é racional e a+b é racional, a diferença
(a+b)-a=b
é diferença de dois números racionais. A diferença de dois números racionais é racional (essa é uma propriedade básica dos racionais: fechadura sob soma e subtração).
3. Portanto b seria racional.
4. Mas isso contradiz a hipótese de que b é irracional.
5. Logo a suposição de que a+b é racional é impossível; portanto a+b é irracional.
Comentário didático: novamente o formato foi assumir a negação da conclusão e deduzir contradição com as hipóteses. Observe que essa prova poderia também ser vista como uma prova direta curta (usar propriedade de fechadura) — mas o modo mais claro e didático, e historicamente usado, é assumir que o sumando é racional e concluir que o outro somando seria racional, contradizendo a hipótese. Isso encaixa-se perfeitamente no padrão de prova por contradição.

Passo 6

Prova detalhada de (3) usando contradição — aplicado a polinômios e ao teorema da raiz racional.
Quer provar: não existe número racional que seja solução da equação \,x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+1=0.
Estratégia: assumir que existe uma raiz racional e mostrar contradição usando o Teorema das Raízes Racionais (que diz: se um polinômio com coeficientes inteiros tem uma raiz racional \dfrac{p}{q} em forma irredutível, então p divide o termo constante e q divide o coeficiente líder).
  1. Suponha, para contradição, que existe uma solução racional x=\dfrac{p}{q} em forma irredutível (inteiros p,q, q>0) tal que
\left(\frac{p}{q}\right)^{5}+\left(\frac{p}{q}\right)^{4}+\left(\frac{p}{q}\right)^{3}+\left(\frac{p}{q}\right)^{2}+1=0.
  1. Multiplique por q^{5} para eliminar denominadores:
p^{5}+p^{4}q+p^{3}q^{2}+p^{2}q^{3}+q^{5}=0.
  1. Pelo Teorema das Raízes Racionais (ou pelo argumento de divisibilidade que ele encapsula), quaisquer candidatos racionais na forma reduzida \dfrac{p}{q} devem ter p dividindo o termo constante (aqui o termo constante é 1) e q dividindo o coeficiente líder (aqui o coeficiente líder é 1). Assim p=\pm 1 e q=\pm 1. Em outras palavras, os únicos candidatos racionais possíveis são x=1 ou x=-1.
  2. Teste x=1:
1^{5}+1^{4}+1^{3}+1^{2}+1=1+1+1+1+1=5\neq0.
  1. Teste x=-1:
(-1)^{5}+(-1)^{4}+(-1)^{3}+(-1)^{2}+1=-1+1-1+1+1=1\neq0.
  1. Nem 1 nem -1 são raízes. Logo não existe raiz racional.
  2. Interpretando em termos de contradição: assumir que existe uma raiz racional força-a a ser 1 ou -1, o que contradiz as avaliações acima. Portanto não existe número racional que satisfaça a equação.
Comentário didático: aqui usamos o Teorema das Raízes Racionais para restringir os candidatos racionais a um conjunto finito (no caso \{\pm1\}); testar esses candidatos é direto. A lógica é: se existisse raiz racional então seria um desses; como nenhum desses é raiz, chegamos a contradição com a suposição. Esse é mais um exemplo do padrão “assumir a existência e deduzir absurdo”.

Passo 7

Síntese lógica: em todos os três itens a maneira natural e comum de provar as sentenças foi assumir a negação (ou a existência de uma raiz racional) e deduzir uma contradição com hipóteses, definicões ou propriedades básicas. Esse padrão é precisamente a prova por contradição.
Além disso:
  • Modus ponens e modus tollens são regras de inferência que aparecem dentro de muitas provas, mas elas não descrevem o estilo global usado aqui (assumir negação → contradizer).
  • Provar pela contrapositiva é outra técnica útil para implicações, mas os três exemplos foram resolvidos de forma mais direta por contradição (embora, em certos casos, contrapositiva pudesse ser usada; por exemplo, para (2) pode-se apresentar contrapositiva, mas a prova que se ensina usualmente é por contradição simples).
  • “Tautologia” não é o método aplicável aqui.
Portanto a opção que reúne o método usado nas três provas é a prova por contradição.

Resposta

c

Exercícios relacionados