4-
- A raiz quadrada de 2 é irracional.
- Se
é um número racional e
é um número irracional, então
é um número irracional.
- Não existe número racional que sirva como solução para a equação
.
As afirmações acima podem ser provadas utilizando o seguinte método dedutivo:
Escolha uma:
a. Modus tollens.
b. Tautologia.
c. Contradição.
d. Contrapositivo.
e. Modus ponens.
Escolha uma:
a. Modus tollens.
b. Tautologia.
c. Contradição.
d. Contrapositivo.
e. Modus ponens.
Passo 1
O enunciado apresenta três afirmações e pede que se escolha qual dos métodos dedutivos listados (a–e) pode ser usado para prová-las. As três afirmações são:
- (1) A raiz quadrada de
é irracional. - (2) Se
é um número racional e é um número irracional, então é um número irracional. - (3) Não existe número racional que sirva como solução para a equação
.
O que é pedido: indicar qual dos métodos (a. Modus tollens; b. Tautologia; c. Contradição; d. Contrapositivo; e. Modus ponens) é adequado para provar essas três afirmações.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- As três sentenças devem ser provadas com um mesmo método dedutivo entre as opções.
- As opções são métodos de lógica dedutiva bem conhecidos (listados acima).
Passo 2
Vou explicar, de forma simples e rápida, o que cada método significa (sem ainda escolher):
-
Modus ponens: é a regra "se
então ; é verdade; logo ". Ex.: “Se chove então a rua molha; está chovendo; logo a rua está molhada.” -
Modus tollens: é a regra “se
então ; é falso; logo é falso”. Ex.: “Se chove então a rua molha; a rua não está molhada; logo não está chovendo.” -
Contrapositivo: provar
mostrando o equivalente . É uma forma de prova direta, transformando a implicação em sua contrapositiva. -
Contradição (prova por contradição): assume-se que a conclusão é falsa (ou que a negação do que se quer provar é verdadeira) e mostra-se que isso leva a uma contradição com hipóteses ou com fatos já conhecidos; assim a negação é impossível e a afirmação desejada é verdadeira.
-
Tautologia: normalmente refere-se a uma fórmula lógica verdadeira em todas as interpretações; não é um método de prova prático aplicado diretamente a proposições matemáticas individuais (mais uma propriedade lógica).
Passo 3
Por que vamos prestar atenção especial à prova por contradição: muitas declarações do tipo “não existe…” ou “um número é irracional” são tradicionalmente demonstradas assumindo o contrário (por exemplo: assumir que existe uma solução racional, ou assumir que
é racional) e então deduzir consequências que violam propriedades fundamentais (como divisibilidade por 2, ou definição de números em forma de fração irredutível). Esse estilo (assumir a negação e obter um absurdo) é exatamente a prova por contradição. Vou mostrar isso explicitamente ao provar cada afirmação; isso justificará por que a opção correta é a prova por contradição.
Passo 4
Prova detalhada, passo a passo, de (1) usando contradição — assim você aprende a técnica.
Quer provar:
é irracional.
Estratégia por contradição: assumir o oposto e achar contradição.
- Assuma o contrário: suponha que
seja racional. Então existe uma fração em forma irredutível (ou seja, e inteiros sem fator comum maior que , e ) tal que
- Eleve ambos os lados ao quadrado:
- Da igualdade
conclui-se que é par (porque é igual a vezes um inteiro). Se é par, então é par (pois se um quadrado é par, a base também é par). - Escreva
para algum inteiro . Substituindo em obtém-se
- Da última igualdade segue que
é par, logo é par. - Conclusão:
e são ambos pares, isto é, têm o fator em comum. Isso contradiz a hipótese de que a fração estava em forma irredutível (sem fatores comuns). - Como a suposição inicial (que
é racional) leva a uma contradição, a suposição é falsa. Logo é irracional.
Comentários didáticos: a essência da contradição foi assumir a negação e deduzir algo que viola uma hipótese básica (a irredutibilidade). Esse é o padrão de provas por contradição: assume-se ¬(o que se quer provar) e deduz-se impossibilidade.
Passo 5
Prova detalhada de (2) usando contradição — prática direta da técnica.
Quer provar: se
é racional e
é irracional, então
é irracional.
Estratégia por contradição: assumir que
é racional e mostrar absurdo.
- Suponha, para obter contradição, que
é racional, é irracional e que, contrariamente ao que se quer provar, é racional. - Como
é racional e é racional, a diferença
é diferença de dois números racionais. A diferença de dois números racionais é racional (essa é uma propriedade básica dos racionais: fechadura sob soma e subtração).
3. Portanto seria racional.
4. Mas isso contradiz a hipótese de que é irracional.
5. Logo a suposição de que é racional é impossível; portanto
é irracional.
3. Portanto
4. Mas isso contradiz a hipótese de que
5. Logo a suposição de que
Comentário didático: novamente o formato foi assumir a negação da conclusão e deduzir contradição com as hipóteses. Observe que essa prova poderia também ser vista como uma prova direta curta (usar propriedade de fechadura) — mas o modo mais claro e didático, e historicamente usado, é assumir que o sumando é racional e concluir que o outro somando seria racional, contradizendo a hipótese. Isso encaixa-se perfeitamente no padrão de prova por contradição.
Passo 6
Prova detalhada de (3) usando contradição — aplicado a polinômios e ao teorema da raiz racional.
Quer provar: não existe número racional que seja solução da equação
.
Estratégia: assumir que existe uma raiz racional e mostrar contradição usando o Teorema das Raízes Racionais (que diz: se um polinômio com coeficientes inteiros tem uma raiz racional
em forma irredutível, então
divide o termo constante e
divide o coeficiente líder).
- Suponha, para contradição, que existe uma solução racional
em forma irredutível (inteiros , ) tal que
- Multiplique por
para eliminar denominadores:
- Pelo Teorema das Raízes Racionais (ou pelo argumento de divisibilidade que ele encapsula), quaisquer candidatos racionais na forma reduzida
devem ter dividindo o termo constante (aqui o termo constante é ) e dividindo o coeficiente líder (aqui o coeficiente líder é ). Assim e . Em outras palavras, os únicos candidatos racionais possíveis são ou . - Teste
:
- Teste
:
- Nem
nem são raízes. Logo não existe raiz racional. - Interpretando em termos de contradição: assumir que existe uma raiz racional força-a a ser
ou , o que contradiz as avaliações acima. Portanto não existe número racional que satisfaça a equação.
Comentário didático: aqui usamos o Teorema das Raízes Racionais para restringir os candidatos racionais a um conjunto finito (no caso
); testar esses candidatos é direto. A lógica é: se existisse raiz racional então seria um desses; como nenhum desses é raiz, chegamos a contradição com a suposição. Esse é mais um exemplo do padrão “assumir a existência e deduzir absurdo”.
Passo 7
Síntese lógica: em todos os três itens a maneira natural e comum de provar as sentenças foi assumir a negação (ou a existência de uma raiz racional) e deduzir uma contradição com hipóteses, definicões ou propriedades básicas. Esse padrão é precisamente a prova por contradição.
Além disso:
- Modus ponens e modus tollens são regras de inferência que aparecem dentro de muitas provas, mas elas não descrevem o estilo global usado aqui (assumir negação → contradizer).
- Provar pela contrapositiva é outra técnica útil para implicações, mas os três exemplos foram resolvidos de forma mais direta por contradição (embora, em certos casos, contrapositiva pudesse ser usada; por exemplo, para (2) pode-se apresentar contrapositiva, mas a prova que se ensina usualmente é por contradição simples).
- “Tautologia” não é o método aplicável aqui.
Portanto a opção que reúne o método usado nas três provas é a prova por contradição.
Resposta
c