1. \int_{-3}^{0}\left(1+\sqrt{9-x^{2}}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{-3}^{0}\left(1+\sqrt{9-x^{2}}\right)\,dx.
Informações dadas:
  • O integrando é 1+\sqrt{9-x^{2}}.
  • O intervalo de integração é de x=-3 até x=0.
    O que precisamos encontrar: o valor numérico dessa integral definida.

Passo 2

Primeiro passo técnico: separar a integral em duas partes, porque somas dentro da integral se separam em somas de integrais. Ou seja,
\int_{-3}^{0}\left(1+\sqrt{9-x^{2}}\right)\,dx = \int_{-3}^{0}1\,dx + \int_{-3}^{0}\sqrt{9-x^{2}}\,dx.
Isto é útil porque a primeira integral é trivial e a segunda tem uma interpretação geométrica e uma técnica padrão de resolução.

Passo 3

Calcular a primeira integral simples. A integral de 1 em x é a função identidade multiplicada por x. Formalmente,
\int_{-3}^{0}1\,dx = \left[x\right]_{-3}^{0} = 0 - (-3) = 3.
Interpretação prática: integrar 1 num intervalo é medir o comprimento desse intervalo; aqui o comprimento é 3.

Passo 4

Entender geometricamente a segunda integral. A função y=\sqrt{9-x^{2}} é a metade superior do círculo de raio 3 centrado na origem, pois satisfaz x^{2}+y^{2}=9 com y\ge0. No intervalo x\in[-3,0] estamos na metade esquerda da semicircunferência superior, ou seja uma quarta parte do círculo de raio 3. Logo a área sob essa curva entre -3 e 0 é a área de um quarto de círculo de raio 3.
A área de um círculo de raio r é \pi r^{2}. Assim, a área de um quarto de círculo de raio 3 é
\frac{1}{4}\pi\cdot 3^{2} = \frac{9\pi}{4}.
Portanto, por interpretação geométrica,
\int_{-3}^{0}\sqrt{9-x^{2}}\,dx = \frac{9\pi}{4}.

Passo 5

Para você ter também a técnica algébrica (útil na prova quando não for tão óbvio usar geometria), vou mostrar o cálculo com substituição trigonométrica e não pular etapas.
Escolhemos a substituição
x = 3\sin\theta,
porque para expressões do tipo \sqrt{a^{2}-x^{2}} a substituição x=a\sin\theta simplifica a raiz. Então:
  • dx = 3\cos\theta\,d\theta.
  • \sqrt{9-x^{2}} = \sqrt{9-9\sin^{2}\theta} = 3\sqrt{1-\sin^{2}\theta} = 3\cos\theta, tomando o sinal positivo da raiz porque no intervalo que vamos usar \cos\theta\ge0.
Agora transformar os limites: quando x=-3 temos -3 = 3\sin\theta\Rightarrow \sin\theta=-1\Rightarrow \theta=-\tfrac{\pi}{2}. Quando x=0 temos 0=3\sin\theta\Rightarrow \sin\theta=0\Rightarrow \theta=0. Portanto os limites em \theta são de -\tfrac{\pi}{2} até 0.
Substituindo na integral:
\int_{-3}^{0}\sqrt{9-x^{2}}\,dx = \int_{\theta=-\tfrac{\pi}{2}}^{0} (3\cos\theta)\cdot (3\cos\theta)\,d\theta = \int_{-\tfrac{\pi}{2}}^{0} 9\cos^{2}\theta\,d\theta.

Passo 6

Continuar a calcular a integral trigonométrica passo a passo. Usamos a identidade trigonométrica
\cos^{2}\theta = \frac{1+\cos(2\theta)}{2},
que é fácil de provar a partir das fórmulas de ângulo duplo, mas aqui a usamos como ferramenta padrão.
Assim,
\int_{-\tfrac{\pi}{2}}^{0}9\cos^{2}\theta\,d\theta =9\int_{-\tfrac{\pi}{2}}^{0}\frac{1+\cos(2\theta)}{2}\,d\theta = \frac{9}{2}\int_{-\tfrac{\pi}{2}}^{0}\left(1+\cos(2\theta)\right)\,d\theta.
Agora integramos termo a termo:
\int\left(1+\cos(2\theta)\right)\,d\theta = \theta + \frac{\sin(2\theta)}{2}.
Portanto, avaliando nos limites,
\frac{9}{2}\left[\theta + \frac{\sin(2\theta)}{2}\right]_{-\tfrac{\pi}{2}}^{0}.
Calcule os valores nas extremidades:
  • Em \theta=0: \theta + \dfrac{\sin(2\theta)}{2} = 0 + 0 = 0.
  • Em \theta=-\tfrac{\pi}{2}: \theta + \dfrac{\sin(2\theta)}{2} = -\dfrac{\pi}{2} + \dfrac{\sin(-\pi)}{2} = -\dfrac{\pi}{2} + 0 = -\dfrac{\pi}{2}.
Subtraindo:
\frac{9}{2}\left(0 - \left(-\frac{\pi}{2}\right)\right) = \frac{9}{2}\cdot\frac{\pi}{2} = \frac{9\pi}{4}.
Confirmamos o resultado geométrico da etapa anterior.

Passo 7

Agora juntamos as duas parcelas que separamos no Passo 2:
\int_{-3}^{0}1\,dx = 3, \qquad \int_{-3}^{0}\sqrt{9-x^{2}}\,dx = \frac{9\pi}{4}.
Somando,
\int_{-3}^{0}\left(1+\sqrt{9-x^{2}}\right)\,dx = 3 + \frac{9\pi}{4}.

Resposta

3+\dfrac{9\pi}{4}

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