Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Informações dadas:
- O integrando é
. - O intervalo de integração é de
até .
O que precisamos encontrar: o valor numérico dessa integral definida.
Passo 2
Primeiro passo técnico: separar a integral em duas partes, porque somas dentro da integral se separam em somas de integrais. Ou seja,
Isto é útil porque a primeira integral é trivial e a segunda tem uma interpretação geométrica e uma técnica padrão de resolução.
Passo 3
Calcular a primeira integral simples. A integral de
em
é a função identidade multiplicada por
. Formalmente,
Interpretação prática: integrar
num intervalo é medir o comprimento desse intervalo; aqui o comprimento é
.
Passo 4
Entender geometricamente a segunda integral. A função
é a metade superior do círculo de raio
centrado na origem, pois satisfaz
com
. No intervalo
estamos na metade esquerda da semicircunferência superior, ou seja uma quarta parte do círculo de raio
. Logo a área sob essa curva entre
e
é a área de um quarto de círculo de raio
.
A área de um círculo de raio
é
. Assim, a área de um quarto de círculo de raio
é
Portanto, por interpretação geométrica,
Passo 5
Para você ter também a técnica algébrica (útil na prova quando não for tão óbvio usar geometria), vou mostrar o cálculo com substituição trigonométrica e não pular etapas.
Escolhemos a substituição
porque para expressões do tipo
a substituição
simplifica a raiz. Então:
-
. -
, tomando o sinal positivo da raiz porque no intervalo que vamos usar .
Agora transformar os limites: quando
temos
. Quando
temos
. Portanto os limites em
são de
até
.
Substituindo na integral:
Passo 6
Continuar a calcular a integral trigonométrica passo a passo. Usamos a identidade trigonométrica
que é fácil de provar a partir das fórmulas de ângulo duplo, mas aqui a usamos como ferramenta padrão.
Assim,
Agora integramos termo a termo:
Portanto, avaliando nos limites,
Calcule os valores nas extremidades:
- Em
: . - Em
: .
Subtraindo:
Confirmamos o resultado geométrico da etapa anterior.
Passo 7
Agora juntamos as duas parcelas que separamos no Passo 2:
Somando,