As raízes de f(x)=ln (x)-x+2 podem ser determinadas usando o processo iterativo na forma xi+1=varphi(xi), i=1,2, ldots.
Considere os processos iterativos:
xi+1=varphi(xi)=e^xi-2
Usando o critério de convergência do método do ponto fixo, analise os processos iterativos dados e verifique qual deles possui garantia de convergência para as raízes da equação e a partir de uma solução inicial dada determine essas raízes de f(x).

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que queremos achar as raízes de
f(x)=ln(x)-x+2
usando um processo de ponto-fixo da forma
xi+1 = varphi(xi),
e nos dão especificamente
varphi(x) = e^,x-2
O conteúdo aqui é o método de ponto-fixo: a ideia é transformar |varphi'(x)| < 1 em e iterar. Pra garantir que isso converge, usamos o critério
num intervalo que contenha a raiz. Vamos precisar:
  1. escrever o e sua derivada;
  2. usar o critério para ver onde converge;
  3. escolher um chute inicial razoável;
  4. iterar até estabilizar e achar a raiz.

Passo 2

Primeiro nota que achar raiz de x = varphi(x) = e^,x-2 equivale a achar varphi'(x) = ddx e^,x-2 = e^,x-2 tal que
Ou seja, todo ponto-fixo de é raiz de . Para checar convergência, precisamos da derivada:

Passo 3

O critério de convergência do ponto-fixo pede que, num intervalo em volta da raiz, |varphi'(x)| = e^,x-2 < 1 Long<=ftrightarrow x-2 < 0 Long<=ftrightarrow x < 2 . Aqui
Isso nos diz que, se a raiz for menor que 2, a iteração tende a convergir para ela (é “contrátil”). Se a raiz for maior ou igual a 2, dá e não há garantia.

Passo 4

Vamos primeiro identificar as raízes (soluções de x1 &= e^,0.5-2 = e^-1.5approx0,2231, x2 &= e^,0.2231-2approx e^-1.7769approx0,1695, x3 &= e^,0.1695-2approx0,1605, x4 &= e^,0.1605-2approx0,1590, x5 &= e^,0.1590-2approx0,1588, x6 &= e^,0.1588-2approx0,1587 ). Graficamente ou testando valores notamos duas:
  • Uma lá perto de (é <2, logo está no bom caso).
  • Outra em (esta é >2, logo não converge pelo nosso ).
Como só a raiz pequena está no intervalo de convergência, vamos iterar para ela. Escolho, por exemplo, .
Iterando:
Já deu para ver que está estabilizando em torno de .

Passo 5

Concluímos que o processo convergente só encontra a raiz
. A outra raiz ( ) não satisfaz ali, então esse método não a captura.

Resposta

A única raiz garantida pelo ponto-fixo boxedx approx 0,1587 é

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