As raízes de
podem ser determinadas usando o processo iterativo na forma
.
Considere os processos iterativos:
Usando o critério de convergência do método do ponto fixo, analise os processos iterativos dados e verifique qual deles possui garantia de convergência para as raízes da equação e a partir de uma solução inicial dada determine essas raízes de
.
Considere os processos iterativos:
Usando o critério de convergência do método do ponto fixo, analise os processos iterativos dados e verifique qual deles possui garantia de convergência para as raízes da equação e a partir de uma solução inicial dada determine essas raízes de
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que queremos achar as raízes de
usando um processo de ponto-fixo da forma
e nos dão especificamente
O conteúdo aqui é o método de ponto-fixo: a ideia é transformar
em
e iterar. Pra garantir que isso converge, usamos o critério
num intervalo que contenha a raiz. Vamos precisar:
- escrever o
e sua derivada; - usar o critério
para ver onde converge; - escolher um chute inicial razoável;
- iterar até estabilizar e achar a raiz.
Passo 2
Primeiro nota que achar raiz de
equivale a achar
tal que
Ou seja, todo ponto-fixo de
é raiz de
. Para checar convergência, precisamos da derivada:
Passo 3
O critério de convergência do ponto-fixo pede que, num intervalo em volta da raiz,
. Aqui
Isso nos diz que, se a raiz
for menor que 2, a iteração tende a convergir para ela (é “contrátil”). Se a raiz for maior ou igual a 2, dá
e não há garantia.
Passo 4
Vamos primeiro identificar as raízes (soluções de
). Graficamente ou testando valores notamos duas:
- Uma lá perto de
(é <2, logo está no bom caso). - Outra em
(esta é >2, logo não converge pelo nosso ).
Como só a raiz pequena está no intervalo de convergência, vamos iterar para ela. Escolho, por exemplo,
.
Iterando:
Iterando:
Já deu para ver que está estabilizando em torno de
.
Passo 5
Concluímos que o processo convergente
só encontra a raiz
. A outra raiz (
) não satisfaz
ali, então esse método não a captura.
Resposta
A única raiz garantida pelo ponto-fixo
é