raizx-raizx-2+raizx+raizx-2=3

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação raizx-raizx-2+raizx+raizx-2=3. O conteúdo envolve equações com radicais aninhados; vamos usar definições de somas de raízes quadradas, identidades algébricas e verificar domínio.

Passo 2

Para que as expressões dentro das raízes sejam válidas, precisamos de x-2>=0, ou seja, x>=2. Não há restrição extra em x-raizx-2 para x>=2, pois sempre será não negativo.

Passo 3

Definimos as substituições seguintes para simplificar as expressões:
A=raizx-raizx-2, B=raizx+raizx-2
Dessa forma
A+B=3,
A^2+B^2=(x-raizx-2)+(x+raizx-2)=2x,
A^2B^2=(x-raizx-2)(x+raizx-2)=x^2-(x-2)=x^2-x+2

Passo 4

Usando a identidade
(A+B)^2=A^2+2AB+B^2,
como A+B=3 e A^2+B^2=2x, temos
2x+2AB=9
Portanto
AB=9-2x2

Passo 5

Como (AB)^2=x^2-x+2, substituímos o valor de AB:
l(9-2x2r)^2=x^2-x+2
Isso resulta em
(9-2x)^24=x^2-x+2Longrightarrow 81-36x+4x^2=4x^2-4x+8
que simplifica para
32x-73=0Longrightarrow x=7332

Passo 6

Verificamos que x=73/32approx2,28 está no domínio [2,infty) e, ao substituir de volta na equação original, as somas das raízes conferem 3. Portanto a única solução válida é x=73/32.

Resposta

x=\frac{73}{32}

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