x^2+raizx^2+2 x+8=12-2 x

Passo 1

Resumo do enunciado: a gente tem a equação com radical x^2+raizx^2+2x+8=12-2x. O conteúdo aqui é resolução de equações com radicais: vamos precisar isolar o termo com raiz, impor a condição de existência e então elevar ao quadrado.

Passo 2

Para começar, isolamos o radical:
raizx^2+2x+8=12-2x - x^2
Como o radicando x^2+2x+8 é sempre positivo (discriminante negativo), a única restrição extra vem de exigir que o lado direito seja não negativo:
12-2x - x^2>= 0
Isso é equivalente a
-(x^2+2x-12)>=0 Longrightarrow x^2+2x-12<=0
as raízes são x=-1pmraiz13, dando a faixa xin[-1-raiz13,,-1+raiz13].

Passo 3

Agora elevamos ao quadrado a equação isolada:
l(12-2x - x^2r)^2=x^2+2x+8
Para simplificar, definimos t=x^2+2x. A equação vira:
(t-12)^2=t+8
Expandindo e reorganizando:
(t-12)^2-t-8=0 Longrightarrow t^2-25t+136=0
As raízes de t são
t=17ou t=8
Volta ao x:
Para t=17:
x^2+2x-17=0 Rightarrow x=-1pm3raiz2
Para t=8:
x^2+2x-8=0 Rightarrow x=2 ou x=-4

Passo 4

Por fim, aplicamos a restrição xin[-1-raiz13,-1+raiz13] e testamos na equação original: só x=2 e x=-4 satisfazem tudo. Confira que ambos funcionam quando plugados na equação inicial.

Resposta

x=2 ou x=-4

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